Задача 28848 4.3.53) Эллипс, симметричный...

slava191

09.07.2018

4.3.53) Эллипс, симметричный относительно осей прямоугольной системы координат, касается двух прямых x+2y-sqrt(39)=0 и x-3y+7=0. Найти его уравнение

SOVA

11.07.2018

★

Условие, при котором прямая Ax+By+C=0 касается эллипса
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 имеет вид

[b]a^2A^2+b^2B^2=C^2[/b]

1) x+2y-sqrt(39)=0
A=1; B=2;C=-sqrt(39)
[b] a^2+4b^2=39 [/b]
2)x-3y+7=0
A=1; B=-3; C=7
[b]a^2+9b^2=49

Решаем систему:
{a^2+4b^2=39
{a^2+9b^2=49
Вычитаем из второго первое:
5b^2=10⇒ b^2=2
a^2=39-4b^2=39-4*2=31

О т в е т. (x^2/31)+(y^2/2)=1