Задача 31015 1) (1+x^2)dy-2x(y+3)dx = 0, y=-1,...

sergeykirnadz

2018-11-14 01:13:27

1) (1+x^2)dy-2x(y+3)dx = 0, y=-1, x=0

2) ...

4) ...

sova

2018-11-14 14:45:02

★

1.
Уравнение с разделяющимися переменными
(1+x^2)dy=2x(y+3)dx
Делим на (1+x^2)*(y+3)
dy/(y+3)=(2x)dx/(1+x^2)
Интегрируем
∫ dy/(y+3)= ∫(2x)dx/(1+x^2)
ln|y+3|=ln|1+x^2)+lnC
y+3=C*(1+x^2) - общее решение

При x=0; y=-1

-1+3=С*(1+0^2) ⇒ C=2

y+3=2(1+x^2) ;
y=2x^2-1 - частное решение

2.
Разделим на (1+x^2)
y`- (2x/(1+x^2))y=(1+x^2)^3

Это линейное уравнение первого порядка.
Решение находят в виде произведения
y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`

u`*v+u*v` - (2х/(1+х^2))*u*v=(1+x^2)^3

u`*v+u*[b](v` - (2х/(1+х^2))*v)[/b]=(1+x^2)^3

Полагая
[b](v` - (2х/(1+х^2))*v)[/b]=0 ⇒ dv/v=2xdx/(1+x^2) ⇒ ln|v|=ln|1+x^2| ⇒
[b]v=(1+x^2)[/b]
получаем
u`*[b](1+x^2)[/b] -0=(1+x^2)^3

u`=(1+x^2)^2
u= ∫ (1+x^2)^2dx= ∫ (x^4+2x^2+1)dx= (x^5/5)+2*(x^3/3)+x+C

y=u*v=((x^5/5)+2*(x^3/3)+x+C)*(1+x^2)^3 - общее решение дифференциального уравнения

4.
Линейное дифферециальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k+5=0
D=4-4*5=-16
k_(1)=(-2-4i)/2=-1-2i; k_(2)=(-2+4i)/2=-1+2i ;

корни комплексно сопряженные
α =-1
β =2

Общее решение имеет вид:

y=e^(-x)*(C_(1)cos2x+C_(2)sin2x)

Чтобы найти частное решение, находим y`
y`=e^(-x)*(-1)*(C_(1)cos2x+C_(2)sin2x)+e^(-x)*(C_(1)(-sin2x)*2+C_(2)(cos2x)*2)

y`=e^(-x)*(-C_(1)cos2x-C_(2)sin2x)-2C_(1)sin2x+2C_(2)cos2x)

y(0)=0 ⇒

0=e^(-0)*(C_(1)*cos0+C_(2)sin0) ⇒ C_(1)=0

y`(0)=1 ⇒
1=e^(-0)*(-C_(1)cos0-C_(2)sin0-2C_(1)sin0+2C_(2)cos0)
1= - C_(1)+2C_(2)
C_(2)=-1
y= - e^(-x)*sin2x - частное решение