Задача 31015 1) (1+x^2)dy-2x(y+3)dx = 0, y=-1,...

sergeykirnadz

14 ноября 2018 г. в 01:13

1) (1+x²)dy–2x(y+3)dx = 0, y=–1, x=0

2) ...

4) ...

sova

14 ноября 2018 г. в 14:45

★

1.
Уравнение с разделяющимися переменными
(1+x²)dy=2x(y+3)dx
Делим на (1+x²)·(y+3)
dy/(y+3)=(2x)dx/(1+x²)
Интегрируем
∫ dy/(y+3)= ∫(2x)dx/(1+x²)
ln|y+3|=ln|1+x²)+lnC
y+3=C·(1+x²) – общее решение

При x=0; y=–1

–1+3=С·(1+0²) ⇒ C=2

y+3=2(1+x²) ;
y=2x²–1 – частное решение

2.
Разделим на (1+x²)
y`– (2x/(1+x²))y=(1+x²)³

Это линейное уравнение первого порядка.
Решение находят в виде произведения
y=u·v

y`=u`·v+u·v`

u`·v+u·v`

u`·v+u·v` – (2х/(1+х²))·u·v=(1+x²)³

u`·v+u·(v` – (2х/(1+х²))·v)=(1+x²)³

Полагая
(v` – (2х/(1+х<sup>2</sup>))·v)=0 ⇒ dv/v=2xdx/(1+x<sup>2</sup>) ⇒ ln|v|=ln|1+x<sup>2</sup>| ⇒
v=(1+x<sup>2</sup>)
получаем
u`·(1+x²) –0=(1+x²)³

u`=(1+x²)²
u= ∫ (1+x²)²dx= ∫ (x⁴+2x²+1)dx= (x⁵/5)+2·(x³/3)+x+C

y=u·v=((x⁵/5)+2·(x³/3)+x+C)·(1+x²)³ – общее решение дифференциального уравнения

4.
Линейное дифферециальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Составляем характеристическое уравнение:
k²+2k+5=0
D=4–4·5=–16
k₁=(–2–4i)/2=–1–2i; k₂=(–2+4i)/2=–1+2i ;

корни комплексно сопряженные
α =–1
β =2

Общее решение имеет вид:

y=e^–x·(C₁cos2x+C₂sin2x)

Чтобы найти частное решение, находим y`
y`=e^–x·(–1)·(C₁cos2x+C₂sin2x)+e^–x·(C₁(–sin2x)·2+C₂(cos2x)·2)

y`=e^–x·(–C₁cos2x–C₂sin2x)–2C₁sin2x+2C₂cos2x)

y(0)=0 ⇒

0=e^–0·(C₁·cos0+C₂sin0) ⇒ C₁=0

y`(0)=1 ⇒
1=e^–0·(–C₁cos0–C₂sin0–2C₁sin0+2C₂cos0)
1= – C₁+2C₂
C₂=–1
y= – e^–x·sin2x – частное решение