Задача 30142 Помогите решить! Фото...
Условие
Все решения
cos φ =vector{a}*vector{b}/|vector{a}|*|vector{b}|
φ - угол между vector{a} и vector{b}
Расположим куб в системе координат, например так как на рис.1.
Тогда
D(0;0;0); A(1;0;0); B(1;1;0); C(0;1;0)
D_(1)(0;0;1); A_(1)(1;0;1); B_(1)(1;1;1); C_(1)(0;1;1)
5)
vector{A_(1)C}=(0-1;1-0;0-1)=(-1;1;-1)
|vector{A_(1)C}|=sqrt((-1)^2+1^2+(-1)^2)=sqrt(3)
vector{DC_(1)}=(0-0;1-0;1-0)=(0;1;1)
|vector{DC_(1)}|=sqrt(0^2+1^1+1^2)=sqrt(2)
cos φ =(-1*0+1*1-1*1)/sqrt(3)*sqrt(2)=0
φ = arccos 0= π/2 - угол между векторами vector{A_(1)C} и vector{DC_(1)} ,
угол между прямыми A_(1)C и DC_(1) равен π/2
О т в е т. π/2
6)
vector{AD_(1)}=(0-1;0-0;1-0)=(-1;0;1)
|vector{AD_(1)}|=sqrt((-1)^2+0^2+1^2)=sqrt(2)
vector{A_(1)B}=(1-1;1-0;0-1)=(0;1;-1)
|vector{A_(1)B}|=sqrt(0^2+1^1+(-1)^2)=sqrt(2)
cos φ =(-1*0+0*1+1*(-1))/sqrt(2)*sqrt(2)=-1/2
φ = arccos(-1/2)= π - arccos(1/2) = (π - (π/3))=2π/3 - угол между векторами vector{AD_(1)} и vector{A_(1)B} тупой,
угол между прямыми выбираем смежный
π - (2π/3)=π/3
О т в е т. π/3
ИЛИ
угол между AD_(1) и A_(1)B равен углу между AD_(1) и
D_(1)C ||A_(1)B
Из равностороннего треугольника AD_(1)С
(AD_(1)=D_(1)C=AC=sqrt(2))
∠ AD_(1)C=60 градусов.
О т в е т. 60 градусов
Далее все задачи ( кроме 14)можно решать как (6) двумя способами.
Параллельный перенос обозначен красными отрезками.
7)
vector{DC_(1)}=(0-0;1-0;1-0)=(0;1;1);
|vector{DC_(1)}|=sqrt(0^2+1^1+1^2)=sqrt(2);
vector{D_(1)B_(1)}=(0-1;0-0;1-1)=(-1;1;0);
|vector{D_(1)B_(1)}|=sqrt((-1)^2+1^2+0^2)=sqrt(2);
cos φ =(0*(-1)+1*1+1*0)/(sqrt(2)*sqrt(2))=1/2
φ = arccos(1/2)=π/3 - угол между векторами vector{DC_(1)} и vector{D_(1)B_(1)} острый , угол между прямыми этот же угол
О т в е т. π/3
8)
vector{AD_(1)}=(0-1;0-0;1-0)=(-1;0;1)
|vector{AD_(1)}|=sqrt((-1)^2+0^2+1^2)=sqrt(2)
vector{BD}=(0-1;0-1;0-0)=(-1;-1;0)
|vector{BD}|=sqrt((-1)^2+(-1)^2+0^2)=sqrt(2)
cos φ =((-1)*(-1)+0*(-1)+1*0)/(sqrt(2)*sqrt(2))=1/2
φ = arccos(1/2)= π/3
О т в е т. π/3
9)
vector{A_(1)C_(1)}=(0-1;1-0;1-1)=(-1;1;0)
|vector{A_(1)C_(1)}|=sqrt((-1)^2+1^2+0^2)=sqrt(2)
vector{B_(1)C}=(0-1;1-1;0-1)=(-1;0;-1)
|vector{B_(1)C}|=sqrt((-1)^2+0^2+(-1)^2)=sqrt(2)
cos φ =((-1)*(-1)+1*0+0*(-1))/(sqrt(2)*sqrt(2))=1/2
φ = arccos(1/2) =π/3
О т в е т. π/3
10)
vector{A_(1)C}=(0-1;1-0;0-1)=(-1;1;-1)
|vector{A_(1)C}|=sqrt((-1)^2+1^2+(-1)^2)=sqrt(3)
vector{AD}=(1-0;0-0;0-0)=(1;0;0)
|vector{AD}|=sqrt(1^2+0^2+0^2)=1
cos φ =((-1)*1+1*0+(-1)*0)/(sqrt(3)*1)=-1/sqrt(3)
φ = arccos(-1/sqrt(3))= π - arccos(1/sqrt(3)) - угол между векторами vector{A_(1)C} и vector{DC_(1)} тупой, а угол между прямыми выбираем смежный
π - (π - arccos(1/sqrt(3))=arccos(1/sqrt(3))
О т в е т. arccos(1/sqrt(3))
11)
vector{A_(1)B}=(1-1;1-0;0-1)=(0;1;-1)
|vector{A_(1)B}|=sqrt(0^2+1^2+(-1)^2)=sqrt(2)
vector{AC}=(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0)
|vector{AC}|=sqrt((-1)^2+1^2+0^2)=sqrt(2)
cos φ =(0*(-1)+1*1+(-1)*0)/(sqrt(2)*sqrt(2))=-1/sqrt(2)
φ = arccos(-1/2)= π - arccos(1/2)=π- (π/3)= 2π/3- угол между векторами vector{A_(1)B} и vector{AC} тупой,
угол между прямыми выбираем смежный
π - (π -π/3)=π/3
О т в е т. π/3
12)
vector{AC}=(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0)
|vector{AC}|=sqrt((-1)^2+1^2+0^2)=sqrt(2)
vector{B_(1)D_(1)}=(0-1;0-1;1-1)=(-1;-1;0);
|vector{B_(1)D_(1)}|=sqrt((-1)^2+(-1)^2+0^2)=sqrt(2);
cos φ =((-1)*(-1)+1*(-1)+0*0)/(sqrt(2)*sqrt(2))=0
φ = arccos 0= π/2 - угол между векторами vector{AC} и vector{B_(1)D_(1)} ,
угол между прямыми AC и BD равен π/2
О т в е т. π/2
13) 60 градусов
14)
vector{B_(1)C}=(0-1;1-1;0-1)=(-1;0;-1)
|vector{B_(1)C}|=sqrt((-1)^2+0^2+(-1)^2)=sqrt(2)
vector{BD_(1)}=(0-1;0-1;1-1)=(-1;-1;0)
|vector{BD_(1)}|=sqrt((-1)^2+(-1)^2+0^2)=sqrt(2)
cos φ =((-1)*(-1)+0*(-1)+(-1)*0)/(sqrt(2)*sqrt(2))=1/2
φ = arccos1/2= π/3 - угол между векторами vector{B_(1)C} и vector{BD_(1)} ,
угол между прямыми B_(1)C и BD_(1) равен π/3
15) и 16) ответ 60 градусов.
Из равностороннего треугольника B_(1)D_(1)С
(B_(1)D_(1)=D_(1)C=B_(1)C=sqrt(2))
и
из равностороннего треугольника A_(1)DB
(A_(1)D=DB=A_(1)B=sqrt(2))
