Задача 34909 Найти наименьшее и наибольшее...

olga1007

25 марта 2019 г. в 15:52

Найти наименьшее и наибольшее значения
функции
z = f (x, y) в замкнутой области D , заданной системой неравенств. Сделать
чертеж.

sova

25 марта 2019 г. в 19:40

★

z`<sub>x</sub>=2x+2y+4
z`_y=2x–2y

Находим стационарные точки:
{z`<sub>x</sub>=0
{z`_y=0

{2x+2y+4=0
{2x–2y=0 ⇒ y=x

2x+2x+4=0
x=–1
y=–1

M(–1;–1) cтационарная точка, принадлежит области.

Находим вторые частные производные

z``<sub>xx</sub>=(2x+2y+4)`<sub>x</sub>=2
z``_xy=(2x+2y+4)`<sub>y</sub>=2
z``<sub>yy</sub>=(2x–2y)`_y=–2

A=z``<sub>xx</sub>(M)=2
B=z``_yy(M)=–2
C=z`_`(xy)(M)=2

Δ=AB–C²=2·(–2)–2² < 0

точка M не является точкой экстремума

Исследуем на границе

1) х=0
z=0+2·0·y–y²+4·0

z=–y² – функция одной переменной –2 ≤ у ≤ 0

при у=–2 принимает наименьшее значение z=–4
при у=0 принимает наибольшее значение z=0

2) y=0
z=x²+4x – функция одной переменной –2 ≤ х ≤ 0

при х=–2 принимает наименьшее значение z=–4
при х=0 принимает наибольшее значение z=0

3) х+у+2=0
y=–x–2

z=x²+2x·(–x–2)–(–x–2)²+4·x

z=–2x²–4x–4– функция одной переменной –2 ≤ х ≤ 0

y`=–4x–4

y`=0
x=–1
при х=–1 принимает наибольшее значение z=–2

Выбираем из всех найденных значений наибольшее и наименьшее

z(0;0)=0 – наибольшее значение в области
z(–2;0)=–4 наименьшее значение в области

vk201218220

5 сентября 2019 г. в 13:50

Посмотрите и сделайте по аналогии