Задача 44622 sinx +корень из1,5(1-сosx) =0...
Условие
Решение
Все решения
[m]sinx+\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 2sin^{2}\frac{x}{2}}=0[/m]
[m]sinx+\sqrt{3}|sin\frac{x}{2}|=0[/m]
[m]2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cdot |sin\frac{x}{2}|=0[/m]
Раскрываем знак модуля:
1)
[m]sin\frac{x}{2} ≥ 0[/m] ⇒ [m] 0+2πm ≤ \frac{x}{2} ≤ π+2πm, m ∈ Z ⇒ 4πm ≤ x ≤ 2π+4πm, m ∈ Z[/m]
тогда
[m]|sin\frac{x}{2}|=sin\frac{x}{2}[/m]
уравнение примет вид:
[m]2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cdot sin\frac{x}{2}=0[/m]
[m]sin\frac{x}{2}\cdot (2cos\frac{x}{2}+\sqrt{3})=0[/m]
[m]sin\frac{x}{2}=0[/m] ⇒ [m] \frac{x}{2}=πk, k ∈ Z [/m]⇒
[red]x=2πk, k ∈ Z [/red]
или
[m]2cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}=0[/m] ⇒ [m] cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]\frac{x}{2}= ± \frac{5π}{6}+2πn, n ∈ Z[/m] ⇒[m] x= ± \frac{5π}{3}+4πn, n ∈ Z[/m]
Условию [m] sin\frac{x}{2} ≥ 0[/m] удовлетворяют корни:
[red][m] x= \frac{5π}{3}+4πn, n ∈ Z[/m][/red]
2)
[m]sin\frac{x}{2} <0 ⇒ -π+2πm ≤ \frac{x}{2} ≤ 2πm, m ∈ Z
⇒[/m]
[m]-2π+ 4πm ≤ x ≤4πm, m ∈ Z[/m]
тогда
[m]|sin\frac{x}{2}|=- sin\frac{x}{2}[/m]
уравнение принимает вид:
[m]2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2} - \sqrt{3}\cdot sin\frac{x}{2}=0[/m]
[m]sin\frac{x}{2}\cdot (2cos\frac{x}{2}-\sqrt{3})=0[/m]
[m]sin\frac{x}{2}<0[/m] ⇒
[m]2cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}=0 ⇒ cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]\frac{x}{2}= ± \frac{π}{6}+2πn, ⇒ ± \frac{π}{3}+4πn, n ∈ Z [/m]
Условию [m]sin\frac{x}{2} < 0[/m] удовлетворяют корни:
[red][m] x= - \frac{π}{3}+4πk, k ∈ Z[/m]
[/red]
[red][m]- \frac{π}{3}+4πn, \frac{5π}{3}+4πn[/m]
[/red]
можно объединить в ответ:
[m] - \frac{π}{3}+2πn [/m]
О т в е т.
a)
[red][m] 2πk[/m] [/red]
[red][m] - \frac{π}{3}+2πn [/m][/red]
[red][m] n, k ∈ Z[/m] [/red]