Задача 52890 ...

vk45391524

2020-07-21 19:38:43

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(a −1) × 4^x +(2a −3) × 6^x = (3a − 4) × 9^x имеет единственный корень.

sova

2020-07-21 20:51:36

(a −1)*4^(x) +(2a −3)*6^(x) =(3a − 4)*9^(x)

Делим уравнение на 4^(x)

[m](3a-4)\cdot (\frac{9}{4})^{x}-(2a-3)\cdot (\frac{3}{2})^{x}-(a-1)=0 [/m]

Замена переменной:
[m](\frac{3}{2})^{x}=t[/m]; [m] t > 0[/m]; [m](\frac{9}{4})^{x}=t^2[/m];

[m](3a-4)\cdot t^2-(2a-3)\cdot t-(a-1)=0 [/m]


1)
Если (3a-4)=0 ⇒ a=[m]\frac{4}{3}[/m], получим уравнение:

[m]-(2\cdot \frac{4}{3} -3)\cdot t-(\frac{4}{3}-1)=0 [/m]

[m]-( \frac{8}{3} - \frac{9}{3})\cdot t-(\frac{4}{3}-1)=0 [/m]

[m]\frac{1}{3}t=\frac{1}{3}[/m] ⇒ [m]t=1[/m] удовл. условию: [m] t > 0[/m]

При a=[m]\frac{4}{3}[/m] уравнение имеет [b]единственное решение:[/b]

[m](\frac{3}{2})^{x}=1[/m] ⇒ [b]x=0[/b]

2)
Квадратное уравнение

[m](3a-4)\cdot t^2-(2a-3)\cdot t-(a-1)=0 [/m]

имеет [b] единственный корень [/b] [m]t=\frac{2a-3}{2\cdot (3a-4)}[/m]

в случае, если дискриминант равен 0

D=(2a-3)^2+4(3a-4)(a-1)=4a^2-12a+9+12a^2-28a+16=16a^2-40a+25=(4a-5)^2

D=0 при 4a-5=0

При a=[m]\frac{5}{4}[/m] единственный корень уравнения:

[m]t=\frac{2a-3}{2\cdot (3a-4)}=\frac{2\cdot\frac{5}{4} -3}{2\cdot (3\cdot \frac{5}{4} -4)}=2[/m] - удовл условию : [m] t > 0[/m]

[m](\frac{3}{2})^{x}=2[/m] ⇒ [m]x=log_{\frac{3}{2}}2[/m]- [b]единственный корень[/b]

3)
Так как D > 0 при всех а ≠ [m]\frac{5}{4}[/m]

Квадратное уравнение

[m](3a-4)\cdot t^2-(2a-3)\cdot t-(a-1)=0 [/m]

имеет два корня:

[m]t_{1}=\frac{(2a-3)-(4a-5)}{2\cdot (3a-4)}[/m]; [m]t_{2}=\frac{(2a-3)+(4a-5)}{2\cdot (3a-4)}[/m]

[m]t_{1}=\frac{1-a}{3a-4}[/m]; [m]t_{2}=1 [/m]

Требование задачи будет выполнено, если [m]t_{1}\leq 0[/m];

решаем неравенство:

[m]\frac{1-a}{3a-4} \leq 0[/m] ⇒ [m]\frac{a-1}{3a-4} \geq 0[/m]

a ∈ (- ∞ ;1] U ([m]\frac{4}{3}[/m];+ ∞ )

Объединяем ответы трех случаев:

О т в е т. a ∈ (- ∞ ;1[b]][/b] U{[m]\frac{5}{4}[/m] }U [b][[/b][m]\frac{4}{3}[/m];+ ∞ )