Задача 36060 Решите систему...

vk145774910

19 апреля 2019 г. в 11:25

Решите систему неравенств

[m]
\begin{aligned}
& \left\{
\begin{aligned}
& \frac{25 \cdot 0,5^{x-1} - 2^{x-2}}{2^{x+2} - 4^{x}} \geq 0,5^{x+2},\\
& \log_{6-x} \frac{x^4}{x^2-12x+36} \leq 0.
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
[/m]

sova

19 апреля 2019 г. в 12:38

★

ОДЗ:
{x⁴/(x²–12x+36) > 0 ⇒ х – любое, x≠ 0; х ≠ 6
{6–x>0 ⇒ x < 6
{6–x ≠ 1 ⇒ x ≠ 5

(– ∞ ;0)U(0;5)U(5;6)

0,5=1/2=2^–1

0,5^x–1=2^1–x
0,5^x+2=2^–x–2

Замена переменной:
2^x=t
t>0
2^–x=1/t
4^x=t²

2^x+2=2^x·2²=4t
2^–x–2=1/(4t)
2^1–x=2/t

Первое неравенство принимает вид:
((50/t)–(t/4))/(4t–t²) ≥ 1/(4t)

Приводим к общему знаменателю и упрощаем
(200–t²)/(4t·(4t–t²) – 1/(4t) ≥ 0


(200–t²–4t+t²)/(4t²·(4–t)) ≥ 0

4·(50–t)/(4t²·(4–t)) ≥ 0

(t–50)/(t²·(t–4)) ≥ 0

Применяем метод интервалов:

_+__ (0) __+___ (4) ___–__ [50] __+___

Учитывая, что t >0
0 < t < 4 или t ≥ 50

Обратный переход
0 < 2^x < 2² или 2² ≥ 2^log₂50
Учитывая что 2^x возрастающая функция получаем :
x∈ (– ∞ ;2) U [log₂50;+ ∞ )

5=log₂32 < log₂50 < log₂64=6
поэтому
с учетом ОДЗ получаем о т в е т первого неравенства

x∈ (– ∞ ;0)U(0; 2) U [log₂50;6)

Для решения второго неравенства применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(6–x–1)·((x⁴/(x²–12x–36)) – 1) ≤ 0

(5–x)·((x²)²–(x–6)²)/(x–6)² ≤ 0

(5–х)·(x²–x+6)·(x²+x–6)/(x–6)² ≤ 0

x²–x+6=0
D=1–4·6 <0
x²–x+6 > 0 при любом х

x²+x–6=0
D=1+24=25
х₁=–3; х₂=2

(x–5)(x+3)(x–2)/(x–6)² ≥ 0

_–__ [–3] __+__ [2] _–__ [5] __+__ (6) __+__

x ∈ [–3;2] U[5;6) U(6;+ ∞ )
с учетом ОДЗ получаем о т в е т второго неравенства
x ∈ [–3;0)U(0;2] U(5;6)

Находим решение системы, как пересечение множеств:
{x∈ (– ∞ ;0)U(0; 2) U [log₂50;6)
{x ∈ [–3;0) U(0;2] U(5;6)


О т в е т. [–3;0)U(0;2)U[log₂50;6)