Задача 20783 Три вершины А,В,С,параллелограмма ABCD...

u85115248196

10.12.2017

Три вершины А,В,С,параллелограмма ABCD лежат на окружности, которую прямая BD пересекает в точке М так, что DM=2,25.Найдите BD , если AB=3 , BC=4.

SOVA

11.12.2017

★

Пусть диагонали АС и BD пересекаются в точке О.
Обозначим BO=OD=x
OM=x+2,25.
По свойству диагоналей параллелограмма
AC^2+BD^2=2*(AB^2+2BC^2)
AC^2=50-4x^2
AO=(1/2)sqrt(50-4x^2)

Произведение отрезков хорд АС и BM удовлетворяет соотношению
AO*OC=BO*OM
(1/2)sqrt(50-4x^2)*(1/2)sqrt(50-4x^2)=x*(x+2,25)

8х^2+9х-50=0
D=1681
x=2
BD=2x=4
О т в е т. 4