Задача 50194 y''+y'=12y y(0)=1 y'(0)=1...

legenda024

14 мая 2020 г. в 20:22

y''+y'=12y y(0)=1 y'(0)=1

sova

14 мая 2020 г. в 20:29

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k²+k–12=0

D=1–4·(–12)=1+48=49

k₁=–4; k₂=3– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_одн.=С₁·e^–4x+C₂·e^3x


Частное решение:

y(0)=1

Подставляем:
1=С₁·e⁰+C₂·e⁰ ⇒ 1=С₁+C₂

y`=(С<sub>1</sub>·e<sup>–4x</sup>+C<sub>2</sub>·e<sup>3x</sup>)`

y`=С<sub>1</sub>·(e<sup>–4x</sup>)`+C₂·(e^3x)`


y`=С<sub>1</sub>·e<sup>–4x</sup>·(–4x)`+C₂·e^3x·(3x)`

y`=–4С₁·e^–4x+3C₂·e^3x

y`(0)=1

1=–4С₁+3C₂

Из системы:
{1=С₁+C₂ умножаем на 4
{1=–4С₁+3C₂


{4=4С₁+4C₂
{1=–4С₁+3C₂


Складываем:

5=7С₂ ⇒ С₂=7/5=1,4
С₁=1–С₂=1–1,4=–0,4

y_част.=–0,4·e^–4x+1,4·e^3x