Составляем характеристическое уравнение:
k^2+k–12=0
D=1-4*(-12)=1+48=49
k_(1)=-4; k_(2)=3– корни действительные кратные
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(-4x)+C_(2)·e^(3x)
Частное решение:
y(0)=1
Подставляем:
1=С_(1)*e^(0)+C_(2)·e^(0) ⇒ 1=С_(1)+C_(2)
y`=(С_(1)*e^(-4x)+C_(2)·e^(3x))`
y`=С_(1)*(e^(-4x))`+C_(2)·(e^(3x))`
y`=С_(1)*e^(-4x)*(-4x)`+C_(2)·e^(3x)*(3x)`
y`=-4С_(1)*e^(-4x)+3C_(2)·e^(3x)
y`(0)=1
1=-4С_(1)+3C_(2)
Из системы:
{1=С_(1)+C_(2) умножаем на 4
{1=-4С_(1)+3C_(2)
{4=4С_(1)+4C_(2)
{1=-4С_(1)+3C_(2)
Складываем:
5=7С_(2) ⇒ С_(2)=7/5=1,4
С_(1)=1-С_(2)=1-1,4=-0,4
y_(част.)=-0,4*e^(-4x)+1,4·e^(3x)