Задача 28064 Исследовать функцию f(x) и построить...
Условие
f(x)=3/4(x^3-3x)
Все решения
y`=(3/4)*(3x^2-3)
y`=0
3x^2-3=0
x^2=1
x= ± 1 - точки, в которых возможен экстремум.
Надо применить теорему ( достаточное условие существования экстремума: проверить меняет ли производная при переходе через эти точки знак).
Знак производной:
_+__( -1) __-__ (1) __+_
Знаки легко расставить, зная, что производная квадратный трехчлен, графиком является парабола, которая пересекает ось ох в точках -1 и 1, ветви вверх.
x=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
Функция возрастает на (- бесконечность: -1) и на (1; + бесконечность )
Убывает на (-1;1)
y(-1)=(3/4)*(-1+3)=-3/2
y(1)=3/2
График см. рис.
