Задача 43847 3(4). Числа p и q таковы, что уравнение...

saklethil

2020-01-30 21:26:29

3(4). Числа p и q таковы, что уравнение 2^(1+x) + p + q * 2^(1-x) = 0 имеет два различных корня, сумма которых равна 4. Найдите произведение различных корней уравнения (x^2 - 5x - 300)(x^2 - px -q) = 0.

sova

2020-01-30 23:09:22

★

2^x=t
t>0
2^(-x)=1/t

Квадратное уравнение

2t^2+pt+2q=0

D=p^2-4*2*2q=p^2-16q

D>0

p^2-16q>0

t_(1)=(-p-sqrt(p^2-16q))/4; t_(2)=(-p+sqrt(p^2-16q))/4;

[b]Обpатная замена[/b]:
2^x=(-p-sqrt(p^2-16q))/4;2^x=(-p+sqrt(p^2-16q))/4;

По условию "[i]уравнение имеет два различных корня[/i]", значит каждое из уравнений:
2^x=(-p-sqrt(p^2-16q))/4;2^x=(-p+sqrt(p^2-16q))/4;

имеет корень, стало быть правые части неотрицательны.

x_(1)=log_(2)(-p-sqrt(p^2-16q))/4 x_(2)=log_(2)(-p+sqrt(p^2-16q))/4

По условию

x_(1)+x_(2)=4 ⇒

log_(2)(-p-sqrt(p^2-16q))/4+log_(2)(-p+sqrt(p^2-16q))/4=4

Применяем свойство суммы логарифмов ⇒

q=1/16

x^2-5x-300=(x-20)*(x+15)

Значит корни второго квадратного трехчлена
x^2-px+q не -15 и не 20