Задача 43847 3(4). Числа p и q таковы, что уравнение...

saklethil

30 января 2020 г. в 21:26

3(4). Числа p и q таковы, что уравнение 2^1+x + p + q · 2^1–x = 0 имеет два различных корня, сумма которых равна 4. Найдите произведение различных корней уравнения (x² – 5x – 300)(x² – px –q) = 0.

sova

30 января 2020 г. в 23:09

★

2^x=t
t>0
2^–x=1/t

Квадратное уравнение

2t²+pt+2q=0

D=p²–4·2·2q=p²–16q

D>0

p²–16q>0

t₁=(–p–√p²–16q)/4; t₂=(–p+√p²–16q)/4;

Обpатная замена:
2^x=(–p–√p²–16q)/4;2^x=(–p+√p²–16q)/4;

По условию "уравнение имеет два различных корня", значит каждое из уравнений:
2^x=(–p–√p²–16q)/4;2^x=(–p+√p²–16q)/4;

имеет корень, стало быть правые части неотрицательны.

x₁=log₂(–p–√p²–16q)/4 x₂=log₂(–p+√p²–16q)/4

По условию

x₁+x₂=4 ⇒

log₂(–p–√p²–16q)/4+log₂(–p+√p²–16q)/4=4

Применяем свойство суммы логарифмов ⇒

q=1/16

x²–5x–300=(x–20)·(x+15)

Значит корни второго квадратного трехчлена
x²–px+q не –15 и не 20