Задача 43690 Решите тригонометрические...

vk229746389

26 января 2020 г. в 14:41

Решите тригонометрические уравнения

4.9.1
sin⁴ x – cos⁴ x = 1
0 < x < 90°

4.9.2
sin⁴x + 1/2 = sin2x – cos⁴x

sova

26 января 2020 г. в 21:12

1.
sin⁴x–cos⁴x=(sin²x)²–(cos²x)²=(sin²x–cos²x)·(sin²x+cos²x)=

=–(cos²x–sin²x)·1=–cos2x

–cos2x=1/2

cos2x=–1/2

2x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

x=± (π/3)+πn, n ∈ Z– о т в е т

х=60 ° ∈ (0 ° ;90 ° )


2.

sin⁴x+cos⁴x+(1/2)=sin2x

так как

sin⁴x=(sin²x)²=((1–cos2x)/2)²

cos⁴x=(cos²x)²=((1+cos2x)/2)²

тогда

sin⁴x+cos⁴x=(1/2)+(cos²2x)/2

Уравнение

1+(cos²2x)/2=sin2x


cos²2x=1–sin²2x

Квадратное уравнение:

sin²2x+sin2x–2=0
D=9
sin2x=1 или sin2x=–2 ( не имеет корней)

2x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

x=(π/4)+πn, n ∈ Z – о т в е т