✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 38134

УСЛОВИЕ:

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию:

РЕШЕНИЕ ОТ sova ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Перепишем
y`+(x/(1-x^2))*y=1/(1-x^2) (#)

линейное уравнение первого порядка.

Решаем однородное уравнение
y`+(x/(1-x^2))*y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные.

y`=dy/dx

dydxy=-(x/(1-x^2)*y
dy/y=-xdx/(1-x^2)


Интегрируем
∫ dy/y= -∫ xdx/(1-x^2)

∫ dy/y= (1/2)∫ d(1-x^2)/(1-x^2)

ln|y|=(1/2)ln|1-x^2| +lnC

y=Csqrt(1-x^2)

[b]Метод вариации произвольной постоянной[/b]

y(x)=C(x)sqrt(1-x^2)

y`=(C`(x)*sqrt(1-x^2)-(x*C(x))/sqrt(1-x^2)



Подставляем в уравнение (#)

(C`(x)*sqrt(1-x^2)-(x*C(x))/sqrt(1-x^2)+(x/(1-x^2))*C(x)*sqrt(1-x^2)=1/(1-x^2);



C`(x)sqrt(1-x^2) =1/(1-x^2);
C`(x)=(1-x^2)^(-3/2)

C(x)= ∫ (1-x^2)^(-3/2)dx=[ тригонометрическая подстановка
x=sint
dx=costdt
1-x^2=1-sin^2t=cos^2t
(1-x^2)^(-3/2)=cos^(-3)t

C(x)= ∫ (1-x^2)^(-3/2)dx= ∫dt/cos^2t=tgt+C

sint=x
cost=sqrt(1-x^2)
tgt=sint/cost=x/sqrt(1-x^2)

[b]y(x)=(x/sqrt(1-x^2) +C)sqrt(1-x^2)[/b]- общее решение данного уравнения

y=x+Csqrt(1-x^2)

По условию
y(0)=1

1=0+С*sqrt(1-0)

С=1

[b]y=x+sqrt(1-x^2) - решение, удовлетворяющее условию y(0)=1[/b]

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

Добавил people34, просмотры: ☺ 66 ⌚ 2019-06-13 23:37:28. математика 1k класс

Решения пользователей

Лучший ответ к заданию выводится как основной
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38639
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38644
https://youtu.be/TCYxxYO_5ag
поставьте лайк)
[удалить]
✎ к задаче 38497
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38641
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38638