Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 32357 Провести полное исследование функции и...

Условие

Провести полное исследование функции и построить их графики

математика ВУЗ 731

Решение

a)
1)Область определения (- ∞ ;-1/2) U (-1/2; 1/2)U(1/2;+ ∞)

2) функция четная, так как y(-x)=y(x)
y(-x)=(-x)^2/(4*(-x)^2-1)=x^2/(4x^2+1)


3)
Вертикальной асимптотой являются прямые х= ± (1/2), так как
lim_(x→-(1/2))y= ∞
lim_(x→+(1/2))y= ∞

4)
lim_(x→ ±∞)y= 1/4
Горизонтальная асимптота
y=1/4

k=lim_(x→+ ∞)f(x)/x= 0
Наклонных асимптот нет

5)
Точка пересечения с осью Ох

y=0
x^2=0 ⇒ x=0
(0;0) - точка пересечения с осью Ох и осью Оy

6)
y`=((x^2)`*(4x^2-1)-x^2*(4x^2-1)`)/(4x^2-1)^2
y`=-2x/(4x^2-1)^2

y`=0

-2x=0

x=0

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y` > 0 на (- ∞; -1/2)U(-1/2;0)
Функция возрастает на (- ∞; -1/2)U(-1/2;0)

y` <0 на (0;1/2)U(1/2;+ ∞)
Функция убывает на (0;1/2)U(1/2;+ ∞)

y``=(-2*(4x^2-1)^2+2x* 2*(4x^2-1)*8x)/(4x^2-1)^4

y``=(-8x^2+32x^2+2)/(4x^2-1)^3

y``=(24x^2+2)/(4x^2-1)^3

Знак второй производной:
_+___ (-1/2) ___-____ (1/2) __+__

Кривая выпукла вниз на (- ∞; -1/2) и на (1/2;+ ∞), так как y`` > 0
Кривая выпукла вверх на (- 1/2; 1/2) , так как y`` < 0


б)
1)Область определения (- ∞ ;+ ∞)

2) функция четная, так как y(-x)=y(x)
y(-x)=(4e^((-x)^2)-1)/e^((-x)^2)=(4e(^(x^2))-1)/e^(x^2)

3) Вертикальных асимптот нет

4) lim_(x→± ∞)y= 4
Горизонтальная асимптота
y=4

5) Точки пересечения с осью Оу:
x=0 ⇒ y=3
Точки пересечения с осью Оx:
y=0
4e^(x^2)-1=0
e^(x^2)=1/4 - уравнение не имеет корней, графики не пересекаются.
Точек пересечения с осью Ох нет ( см. рис. 3)

5)y`=(4 - e^(-x^2))`=-e^(-x^2)*(-x^2)`=2x*e^(-x^2)

y`=0
x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

функция убывает на (- ∞;0), так как y` <0
и возрастает на (0;+ ∞), так как y`>0

6) y``=-2*(e^(-x^2)-2x*e^(-x^2)*(-x^2)`=-2e^(-x^2)*(1-2x^2)

y``=0

1-2x^2=0

x= ± 1/sqrt(2) - точки перегиба, вторая производная меняет знак

Знак второй производной:
_+___ (-1/sqrt(2)) ___-____ (1/sqrt(2)) __+__

Кривая выпукла вниз на (- ∞; -1/sqrt(2)) и на (1/sqrt(2);+ ∞), так как y`` > 0
Кривая выпукла вверх на (- 1/sqrt(2); 1/sqrt(2)) , так как y`` < 0

Вопросы к решению (1)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК