Задача 36565 ...
Условие
[-7π/2; 2π]
Решение
[b]sinx > 0[/b]
Замена переменной:
log_(8)sinx=t
3t^3-5t-2=0
D=25-4*3*(-2)=49
t=(5-7)/6=-1/3; t=(5+7)/6=2
Обратный переход
log_(8)sinx=(-1/3) ⇒ sinx=8^(-1/3); sinx=1/2; 1/2 входит в условие ОДЗ
⇒ x=(-1)^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z
log_(8)sinx=2 ⇒ sinx=8^(2)- уравнение не имеет корней в силу ограниченности синуса
-1 ≤ sinx ≤ 1
О т б о р корней на единичной окружности.
См. рис.
Корни удобнее записать в виде двух серий ответов:
при k=2n
[b]x=(π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]
и
при k=2m+1
x=(-π/6)+π+2πm, m ∈ Z ⇒ [b]x=(5π/6)+2πm, m ∈ Z [/b]
Первая серия дает корни:
(π/6) ∈ [0;2π]
(π/6)-2π=-11π/6∈ [-2π;0]
Первая серия дает корни:
(5π/6) ∈ [0;2π]
(5π/6)-2π=-7π/6∈ [-2π;0]
(5π/6)-4π=-19π/6∈ [-7π/2;-2π]
