Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 15555 Одна прямая касается окружностей с...

Условие

Одна прямая касается окружностей с центрами О1 и О2в точках А и В, другая — в точках С и D, причем отрезок O1O2 не пересекает прямую АВ и пересекает прямую CD в точке К. Найдите длины отрезков СК и DK, если радиусы окружностей равны 12 и 4, АВ = 4sqrt(21).

математика 8-9 класс 2263

Решение

Из прямоугольной трапеции АВО2О1 по теореме Пифагора находим
О1О2=sqrt((4sqrt(21))^2+8^2)=20;

Прямоугольные треугольники O1CK и О2DК подобны по двум углам:
∠ O1KC=∠O2KD - вертикальные
∠О1СК =∠О2DK =90 градусов ( касательная СD перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания)
Из подобия
O1C:O2D=O1K:O2K
12: 4=O1K:(20-O1K)
Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
4*O1K=240-12*O1K⇒
16*O1K=240;
O1K=15 ⇒
O2K=20-O1K=20-15=5

По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников
O1CK и O2DK:
СK=sqrt((15^2-12^2)=sqrt(81)=9
DK=3
О т в е т. СK=9; DK=3

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК