Задача 35277 log3(sin3x-sinx) = 2log9(17sin2x)-1...

vk177899689

2 апреля 2019 г. в 22:56

log₃(sin3x–sinx) = 2log₉(17sin2x)–1

sova

2 апреля 2019 г. в 23:08

ОДЗ:
{sin3x–sinx>0⇒ 2sinx·cos2x>0
{17sin2x>0 ⇒ sin2x>0⇒ x в первой или третьей четверти
Решаем первое неравенство:

sinx·cos2x>0⇒
Произведение двух множителей положительно, когда множители имеют одинаковые знаки:

(1) оба положительны

{sinx>0⇒ 2πn< x < π+2πn, n∈ Z
{cos2x>0⇒(–π/2)+2πm< 2x < (π/2)+2πm, m∈ Z⇒
(–π/4)+πm< x < (π/4)+πm, m∈ Z

0+2πm< x < (π/4)+2πm, m∈ Z
или
(3π/4)+2πm< x < π+2πm, m∈ Z

рис. 1

(2) оба отрицательны

{sinx<0⇒ π+ 2πn< x < 2π+2πn, n∈ Z
{cos2x<0⇒(π/2)+2πm< 2x < (3π/2)+2πm, m∈ Z⇒
(π/4)+πm< x < (3π/4)+πm, m∈ Z

(5π/4)+2πm< x < (7π/4)+2πm, m∈ Z

рис.2

C учетом второго неравенства системы для ОДЗ: sin2x >0
получаем
ОДЗ:
x∈ (0+2πm; (π/4)+2πm) U ((5π/4)+2πm; (3π/2)+2πm]m∈ Z
cм. рис. 3

Так как по свойствам логарифма:

log₉(17sin2x)=log_3²(17sin2x)=(1/2)log₃(17sin2x)

1=log₃3

log₃(sin3x–sinx)=log₃(17sin2x)–log₃3

log₃(sin3x–sinx)=log₃((17sin2x)/3)

В силу строгого возрастания логарифмической функции с основанием 3:
если значения функции равны, то и аргументы равны:

sin3x–sinx=(17sin2x)/3

3·(2sinx·cos2x)=17·2sinx·cosx
6sinx·cos2x–34sinx·cosx
2sinx·(3cos2x–17cosx)=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z не входят в ОДЗ

или

3cos2x–17cosx=0
3·(2cos²x–1)–17cosx=0
6cos²x–17cosx–3=0
D=17²–4·6·(–3)=289+72=361

сosx=–1/6 или сosx=3 ( уравнение не имеет корней в силу ограниченности косинуса)

cosx=–1/6

x= ± arccos(–1/6)+2πn, n ∈ Z

ОДЗ удовлетворяют корни:

x=–arccos(–1/6)+2πn, n ∈ Z

см. рис. 4.
О т в е т. х=–(π– arccos(1/6))+2πn, n ∈ Z