Задача 27942 351-360. Дана система линейных...

vk243718511

24 мая 2018 г.

351–360. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

[m]
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = a_{11}x + a_{12}y, \\
\frac{dy}{dt} = a_{21}x + a_{22}y.
\end{cases}
[/m]

356.
[m]
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = 3x - 2y, \\
\frac{dy}{dt} = 2x + 8y.
\end{cases}
[/m]

SOVA

24 мая 2018 г.

★

Составляем характеристическое уравнение системы:
|(2– λ ). .(–2)|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =0
|2. .(8– λ )|

(2– λ )·(8– λ )+4=0
λ ²–11 λ +28=0

λ ₁=4 или λ₂=7

y(t)=C₁e^4t+ C₂e^7t
x(t)=C₃e^4t+ C₄e^7t

подставляем в первое уравнение

4С₃e^4t+7C₄e^7t=3·C₃e^4t+3C₄e^7t–2C₁e^4t–2C₂e^7t

4C₃=3C₃–2C₁
7C₄=3C₄–2C₂

C₃=–2C₁
C₄=–(1/2)C₂

x(t)=–2C₁e^4t–(1/2) C₂e^7t
y(t)=C₁e^4t+C₂e^7t

О т в е т.
x(t)=–2C₁e^4t–(1/2) C₂e^7t
y(t)=C₁e^4t+C₂e^7t

2 способ
{x`=3x–2y
{y`=2x+8y ⇒ 2x=y`–8y ⇒ x=(y`–8y)/2 ⇒ x`=(y``–8y`)/2
Подставим х и x` в первое уравнение

((y``–8y`)/2=3·(y`–8y)/2–2y;
y``–8y`=3y`–24y–4y;
y``–11y`+28y=0
Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Составляем характеристическое уравнение
k²–11k+28=0
D=121–4·28=9
k₁=(11–3)/2=4 или k₂=(11+3)/2=7

Общее решение однородного уравнения:
y(t)=C₁e^4t+C₂e^7t
Находим
y`=4C<sub>1</sub>e<sup>4t</sup>+7C<sub>2</sub>e<sup>7t</sup>
и подставляем y и y` в выражение для х
х=(y`–8y)/2

x(t)=(4C₁e^4t+7C₂e^7t–8C₁e^4t–8C₂e^7t)/2

x(t)=–2C₁e^4t–(1/2)С₂e^7t

О т в е т.
x(t)=–2C₁e^4t–(1/2) C₂e^7t
y(t)=C₁e^4t+C₂e^7t