Задача 28784 На ребре AB правильной четырехугольной...

slava191

7 апреля 2018 г. в 00:00

На ребре AB правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причем AQ : QB = 1:2 . Точка P – середина ребра AS

а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды

б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

SOVA

7 апреля 2018 г. в 00:00

★

а)
АВСD– квадрат.
Пусть АВ=BC=CD=AD=a
По условию
AQ:QB=1:2
AQ=a/3
QB=2a/3

Проведем ОМ || AB
OM – средняя линия треугольника АВD
OM=a/2

T– точка пересечения OM и DQ
OT – средняя линия треугольника QBD
OT=QB/2=(2a/3)/2=a/3
Значит
AQ=OT

Пусть К – точка пересечения АО и QD.
Треугольники AQK и KOT – равны по стороне AQ=QT и двум прилежащим к ней углам
∠ KAQ= ∠ KOT=45 °
∠KQA= ∠KTO – внутренние накрест лежащие при параллельных AB и MO и секущей DQ.

Значит AK=KO

В треугольнике ASO
AP=PS
AK=KO
Значит PK – средняя линия ASO
PK|| SO
SO ⊥ пл ABCD ⇒ PK ⊥ пл. АВСD ⇒ DPQ ⊥ пл.ABCD
PK=SO/2

б)
S(сеч. DSB)=(1/2)DB·SO/2
DB=a√2 – диагональ квадрата АВСD
По условию
S( сеч. DSB)=6
(1/2)DB·SO/2=6
DB·SO=24
a·√2·SO=24 ⇒ a·SO =24/√2=12√2

S(сеч DPQ)=(1/2)·DQ·PK=(1/2)DQ·(SO/2)=(1/4)DQ·SO

Из треугольника ADQ
DQ=√AQ²+AD²=√(a/3)²+a²=(a/3)·√10

⇒ S(сеч DPQ)=(1/4)DQ·SO=(1/4)·(a/3)·√10·SO=

=(√10/12)·(a·SO)=(√10/12)·12 √2=√20=2√5

О т в е т. S(сеч DPQ)=2√5