Найти предел произведения u*v
u → ∞
v → 0
Запишем произведение в виде дроби:
[m]u\cdot v=\frac{u}{\frac{1}{v}}=\frac{v}{\frac{1}{u}}[/m]
[m]\lim_{x \to \infty }\frac{ln(\frac{2}{\pi }arctgx)}{\frac{1}{x}}=\frac{0}{0}[/m]
Применяем правило Лопиталя:
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{(ln(\frac{2}{\pi }arctgx))`}{(\frac{1}{x})`}=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{(\frac{2}{\pi }arctgx)`}{\frac{2}{\pi }arctgx}}{-\frac{1}{x^2}}=[/m]
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1}{1+x^2}\cdot (-x^2)}{arctgx}=\frac{-1}{\frac{\pi }{2}}=-\frac{2}{\pi }[/m]
P.S. логарифмическая функция определена только при положительных значениях аргумента,
значит
arctgx >0 и потому x → [b]+[/b] ∞ arctgx → π/2
б)
[m]y=(\frac{1}{x})^{ln(1-x)}[/m]
Логарифмируем
[m]lny=ln(\frac{1}{x})^{ln(1-x)}[/m]
Применяем свойство логарифма степени:
[m]lny=ln(1-x)\cdot ln\frac{1}{x}[/m]
Получили
u*v
u → 0
v → ∞
[m]\lim_{x \to +0 }\frac{ln\frac{1}{x}}{\frac{1}{ln(1-x)}}=\frac{\infty }{ \infty }[/m]
Применяем правило Лопиталя:
[m]\lim_{x \to +0 }\frac{(ln\frac{1}{x})`}{(\frac{1}{ln(1-x)})`}=\lim_{x \to +0 }\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot(\frac{1}{x})`}{-\frac{1}{ln^2(1-x)}\cdot(ln(1-x))`}=[/m]
[m]=\lim_{x \to +0 }\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot(-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{ln^2(1-x)}\cdot\frac{(1-x)`}{1-x}}=-\lim_{x \to +0 }\frac{ln^2(1-x)\cdot(1-x)}{x}=[/m]
[m]=-\lim_{x \to +0 }\frac{ln^2(1-x)}{x}\cdot 1=\frac{0}{0}[/m]
Применяем правило Лопиталя:
[m]=-\lim_{x \to +0 }\frac{(ln^2(1-x))`}{(x)`}=-\lim_{x \to +0 }\frac{2ln(1-x)}{(1-x)\cdot(-1)}=[/m]
[m]=\lim_{x \to +0 }2ln(1-x)=0[/m]
Итак,
[m]\lim_{x \to +0 }lny=0[/m] ⇒ [m]\lim_{x \to +0 }y=e^{0}=1[/m] - о т в е т