Задача 41259 Найти уравнение сторон треугольника,...

vk186047872

6 ноября 2019 г. в 11:25

Найти уравнение сторон треугольника, если известны одна из вершин В(–2;–4) и уравнение медианы 2х–5у+8=0 и высоты х+2у–14=0 проведеденных из этой вершины

sova

6 ноября 2019 г. в 11:39

Найдем координаты точки пересечения медианы и высоты:
{2x–5y+8=0
{x+2y–14=0

Умножаем второе уравнение на 2
{2x–5y+8=0
{2x+4y–28=0

Вычитаем из первого второе
{–9y+36=0 ⇒ y=4
{x+2y–14=0 ⇒ x=14–2y=14–2·4=6
точка имеет координаты (6;4)

Назовем ее точка К

Скорее всего дана точка В и два уравнения медианы и высоты,
проведенных из других вершин треугольника

Составим уравнение прямой ВК, как прямой проходящей через две точки:

[m]\frac{x-x_{В}}{x_{К}-x_{В}}=\frac{y-y_{В}}{y_{К}-y_{В}}[/m]

[m]\frac{x-(-2)}{6-(-2)}=\frac{y-(-4)}{4-(-4)}[/m]

[m]\frac{x+2)}{8}=\frac{y+4)}{8}[/m]

х+2=y+4
x–y–2=0 – уравнение ВК

высота x+2y–14=0 и ВК не перпендикулярны,так как произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых должно быть равно (–1).


Значит высота перпендикулярна стороне ВМ.

Координату точки М требуется найти

Уравнение стороны ВМ, как прямой, перпендикулярной x+2y–14=0
и проходящей через точку В легко написать.

x+2y–14=0 ⇒ y=–[m]\frac{1}{2}x+7[/m]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (–1)
Значит, угловой коэффициент стороны ВМ
k_BM=2

Общий вид такой прямой
y=2x+b

Так как ВМ проходит через точку В, подставим ее координаты в уравнение
y=2x+b
и найдем b

–4=2·(–2)+b
b=0

уравнение BM: y=2x

Найдем координаты точки пересечения ВМ и медианы.
Решаем систему уравнений:
{2х–5у+8=0
{y=2x

2x–5·(2x)+8=0
–8x+8=0
x=1
y=2

Пусть это точка Р(1;2)

Точка Р – середина ВМ
x_P=[m]\frac{x_{B}+x_{M}}{2}[/m]
y_P=[m]\frac{y_{B}+y_{M}}{2}[/m]

x_M=2x_P–x_B=2·1–(–2)=4
y_M=2y_P–y_B=2·2–(–4)=8

M(4;8)

Уравнение КМ, как уравнение прямой проходящей через две точки:
[m]\frac{x-x_{K}}{x_{M}-x_{K}}=\frac{y-y_{K}}{y_{M}-y_{K}}[/m]

[m]\frac{x-6}{4-6}=\frac{y-4}{8-4}[/m]

2х+у–8=0 – уравнение МК

О т в е т. x–y–2=0; y=2x; 2х+у–8=0