Задача 22601 Вычислить пределы...
Условие
Решение
Умножаем и числитель и знаменатель на
(sqrt(x+3)+2)(sqrt(x+15)+4)
получим lim_(x→1) (x-1)*(sqrt(x+15)+4)/(x-1)(sqrt(x+3)+2)=
=lim_(x→1) (sqrt(x+15)+4)/(sqrt(x+3)+2)=8/4=2
2) Неопределенность (0/0).
Значит х=2 - корень и числителя и знаменателя.
Раскладываем их на множители
3х^2-5x-2=(x-2)(3x+1)
2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)
сокращаем на (х-2) и
lim_(x→2)(3х+1)/(2х+1)=7/5 - ответ
3) 1-cos4x=2sin^22x
lim_(x→0)(x*sin3x/(2*sin2x*sin2x))=
=(1/2)lim_(x→0)(x/sin2x)*(sin3x/sin2x)=(1/2)*(1/2)*(3/2)=3/8
4) Неопределенность (бесконечность/бесконечность)
Делим и числитель и знаменатель на х^2
О т в е т. (1-0-0)/(0-3+0)=-1/3
5) Второй замечательный предел
(2х)/(2x-1)=(2x-1)/(2x-1) + (1/(2x-1))=1+(2/(2x-1))
e^(lim_(x→∞)(2x/2x-1))=e - о т в е т.
При решении используется искусственный прием возведения в степень (2х-1) и потом возведения в степень (1/(2х-1))
При возведении степени в степень показатели перемножаются,получается что произведение равно 1, т.е внешне это действие не изменило выражения, но дало возможность перевести вычисление предела в показатель e
( cм. образец похожего решения)