Задача 16901 Решите неравенство...
Условие
Решение
Пусть
log_(7)x=u
log_(6)x=v
Так как в условиях ОДЗ, при х > 0,
log_(6)x^4=4log_(6)x
Неравенство принимает вид
x^2*u^2+3v^2-4xuv меньше или равно 0
Это однородное квадратное неравенство.
Делим на v^2 ≠ 0
(xu/v)^2-4(xu/v)+3 меньше или равно 0
D=(-4)^2-4*3=16-12=4
корни 1 и 3
1 меньше или равно xu/v меньше или равно 3
Обратная замена
1 меньше или равно xlog_(7)x/log_(6)x меньше или равно 3
По формуле перехода к другому основанию
1 меньше или равно x(lnx/ln7)/(lnx/ln6) меньше или равно 3
lnx ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
1 меньше или равно xlog_(7)6 меньше или равно 3
Делим неравенство на log_(7)6 > log_(7)1=0
Знаки неравенства не меняются.
1/log_(7)6 меньше или равно x меньше или равно 3/log_(7)6
или
log_(6)7 меньше или равно x меньше или равно 3*log_(6)7
C учетом ОДЗ: x > 0 и
с учетом ограничения х ≠ 1,
получаем, что при х=1 неравенство верно
1*0+3*0 меньше или равно 1*0*0 - верно
Значит, х=1 тоже корень неравенства.
1=log_(6)6 < log_(6)7
О т в е т. {1} U [log_(6)7; 3*log_(6)7]