Задача 39022 log 6 (x^2 - 1)<= 3 log 6 (x+1)/(x-1)...
Условие
Решение
Все решения
{x^2-1>0 ⇒ x<-1 или х > 1
{(x+1)/(x-1) > 0 ⇒ x<-1 или х > 1
[red]x ∈ (- ∞ ;-1)U(1;+ ∞ )[/red]
Применяем свойство логарифма частного:
log_(6)(x^2-1) ≤ 3log_(6)|x+1| -3 log_(6)|x-1|
Применяем свойство логарифма степени
log_(6)(x^2-1) ≤ log_(6)|x+1|^3 - log_(6)|x-1|^3
log_(6)(x-1)(х+1)+ log_(6)|x-1|^3 ≤ log_(6)|x+1|^3
Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения:
log_(6)(x-1)(х+1)*|x-1|^3 ≤ log_(6)|x+1|^3
Так как основание логарифмической функции [green]6 >1[/green], функция возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
[b](x-1)*(x+1)*|x-1|^3 ≤ |x+1|^3[/b]
Раскрываем знаки модулей на ОДЗ:
[blue]при x ∈ (- ∞ ;-1)[/blue]
(x-1)(x+1)*(-(x-1))^3 ≤ (-(x+1))^3
(x-1)^4*(x+1) ≥ (x+1)^3
(x+1)*((x-1)^4-(x+1)^2) ≥ 0
(x+1)(x^4-4x^3+6x^2-4x+1-x^2-2x-1) ≥ 0
(x+1)(x^4-4x^3+5x^2-6x) ≥ 0
(x+1)*x*(x-3)*(x^2-x+2) ≥ 0
x^2-x+2 >0 при любом х, так как D=1-8<0
(x+1)*x*(x-3) ≥ 0
___ [-1] _+__ [0] _______ [3] __+__
на (- ∞ ;-1) нет решений
[blue]при x ∈ (1;+ ∞ 1)[/blue]
(x-1)(x+1)*((x-1))^3 ≤ ((x+1))^3
(x-1)^4*(x+1) ≤ (x+1)^3
(x+1)*((x-1)^4-(x+1)^2) ≤ 0
(x+1)(x^4-4x^3+6x^2-4x+1-x^2-2x-1) ≤ 0
(x+1)(x^4-4x^3+5x^2-6x) ≤ 0
(x+1)*x*(x-3)*(x^2-x+2) ≤ 0
x^2-x+2 >0 при любом х, так как D=1-8<0
(x+1)*x*(x-3) ≤ 0
_-__ [-1] ___ [0] ___-____[3] ___
на (1 ;+ ∞ )
1< x ≤ 3 - решение неравенства
О т в е т. (1;3]