Задача 12826 sin2x=3(sinx+cosx-1)...
Условие
математика 10-11 класс
1629
Решение
★
sinx+cosx=t;
возводим в квадрат
sin^2x+2*sinx*cosx+cos^2x=t^2
1+sin2x=t^2
sin2x=t^2-1
Уравнение принимает вид:
t^2-1=3t-3;
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
t=(3-1)/2=1 или t=(3+1)/2=2
sinx+cosx=1 или sinx+cosx=2
1) применяем метод вспомогательного угла
sin(x+(π/4))=sqrt(2)/2
x+(π/4)=(π/4)+2πk, k∈Z или x+(π/4)=(3π/4)+2πn, n∈Z
x=2πk, k∈Z или x=(π/2)+2πn, n∈Z
2)так как синус и косинус ограничены 1, то равенство возможно лишь при sinx=1 и сosx=1, но синус и косинус одновременно не могут равняться 1.
Уравнение не имеет корней.
О т в е т. 2πk,(π/2)+2πn, k,n∈Z