Задача 52899 ...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin{matrix} 100-x^2>0\\x+1 >0\\2|x+5|+|x-11|-30 >0 \end{matrix}\right.[/m]
2=log_(2)4
2+log_(2)(x+1)=log_(2)4(x+1)
1=log_(0,3)0,3
[m]\left\{\begin{matrix} log_{2}(100-x^2)\leq log_{2}4(x+1)\\ log_{0,3}(2|x+5|+|x-11|-30)<log_{0,3}0,3 \end{matrix}\right.[/m]
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, логарифмическая функция с основанием 0,3 убывающая:
[m]\left\{\begin{matrix} 100-x^2\leq4(x+1)\\2|x+5|+|x-11|-30>0,3 \end{matrix}\right.[/m]
С учетом ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} 100-x^2>0\\x+1 >0\\2|x+5|+|x-11|-30 >0 \end{matrix}\right.[/m]
получаем систему четырех неравенств:
[m]\left\{\begin{matrix}100-x^2>0\\x+1 >0\\ 100-x^2\leq4(x+1)\\2|x+5|+|x-11|-30>0,3 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}(10-x)(1+x)>0\\ x>-1\\ x^2+4x-96 \geq 0\\2|x+5|+|x-11|>30,3 \end{matrix}\right.[/m]
Решаем отдельно каждое неравенство:
[m](10-x)(10+x)>0[/m] ⇒ [b] -10 <x < 10[/b]
[b] x>-1[/b]
[m] x^2+4x-96 \geq 0[/m]
D=16+4*96=4*(4+96)=400; корни: [m] x=\frac{-4\pm 20}{2}[/m]
[m] (x+12)(x-8) \geq 0[/m] ⇒ [b] x ≤ -12 или x ≥ 8[/b] - решение третьего неравенства
2|x+5|+|x-11|>30,3
[i]Подмодульные выражения[/i] равны 0 в точках:
x=-5; x=11
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
Раскрываем модули на каждом промежутке:
[red]1) (- ∞ ;-5] [/red]
|x+5|=-x-5
|x-11|=-x+11
2(-x-5)+(-x+11)>30,3 ⇒ -3x>29,3 ⇒ x < -[m]\frac{293}{30}[/m] ⇒
решение неравенства [b](- ∞ ;[m]\frac{293}{30}[/m])[/b]
[red]2) (-5;11][/red]
|x+5|=x+5
|x-11|=-x+11
2(x+5)+(-x+11)>30,3 ⇒ x>9,3 ⇒ решение неравенства [b](9,3;11][/b]
3)(11;+ ∞ )
|x+5|=x+5
|x-11|=x-11
2(x+5)+(x-11)>30,3 ⇒3x>31,3 ⇒ решение неравенства [b](11;+ ∞ )[/b]
Итак, решение четвертого неравенства:
[b](- ∞ ;[m]-\frac{293}{30}[/m])[/b]U [b](9,3;11][/b]U [b](11;+ ∞ )[/b]=
= [b](- ∞ ;[m]-\frac{293}{30}[/m])[/b]U[b](9,3;+ ∞ )[/b]
Пересечение ответов четырех неравенств:
[b](9,3; 10)[/b] - о т в е т