Задача 43582 Найти общее решение дифференциальных...

vk190911177

2020-01-22 08:43:06

Найти общее решение дифференциальных уравнений
y"+4y'+20y=4cos4x-52sin4x
Помогите пожалуйста решить

sova

2020-01-22 16:07:29

★

Решаем однородное уравнение:
y``+4y`+20y=0

Составляем характеристическое уравнение
λ^2+4 λ +20=0
D=16-80=-64

λ_(1)=-2-4i; λ_(2)=-2+4i - комплексно-сопряженные корни

α=-2
β=4

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=e^(-2x)*(C_(1)cos4x+C_(2)sin4x)

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

у_(част)=Acos4x+Bsin4x


y`_(част)=-4Аsin4x+4Bcos4x

y``_(част)=-16Acos4x-16Bsin4x

Подставляем в данное уравнение:

-16Acos4x-16Bsin4x+(-16Asin4x+16Bcos4x)+20*(Acos4x+Bsin4x)=

=4cos4x-52sin4x

(4A+16B)*cos4x+(4B-16A)sin4x=4cos4x-52sin4x

⇒
{4A+16B=4
{4B-16A=-52

Упростим второе уравнение ( разделим на 4)

{4A+16B=4
{-4A+B=-13

Складываем:

17В=-9

Упростим первое уравнение ( разделим на 4)
{A+4B=1
{16A-4B=52

Складываем:

17A=53

А=53/17
В=-9/17

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(одн) и у_(част)

y=e^(-2x)*(C_(1)cos4x+C_(2)sin4x)+(53/17)cos4x - (9/17)sin4x