Задача 13453 ...

slava191

04.02.2017

В правильной треугольной пирамиде SABC ребро основания AB равно 2, а боковое ребро АS равно sqrt(5). Через точки S, A и середину стороны BC – точку К проведено сечение. Найти

а) Площадь сечения.
б) Косинус угла между сечением и плоскостью ABC.

SOVA

05.02.2017

★

а)
Основание пирамиды равносторонний треугольник АВС:
АВ=ВС=АС=2
Основание высоты SO точка О - центр описанной и центр вписанной окружностей.
АО=R, OK=r.
AK=h(Δ ABC)=asqrt(3)/2=2*sqrt(3)/2=sqrt(3)

AO=(2/3)AK=2sqrt(3)/3

По теореме Пифагора из треугольника ASO
SO^2=SA^2-AО^2=(sqrt(5))^2-(2sqrt(3)/3)^2=5-(4/3)=11/3
SO=sqrt(11/3).
S(сечения)=S(Δ ASK)=(1/2)*AK*SO=(1/2)*(sqrt(3)*sqrt(11/3)=sqrt(11)/2.
О т в е т. sqrt(11)/2
б) Плоскость сечения SAK перпендикулярна плоскости основания АВС, так как проходит через перпендикуляр SO, SO ⊥ пл. АВС.
∠ SOM- линейный угол двугранного угла между сечением и плоскостью ABC.
SO ⊥ АК
ОМ ⊥АК ( так как ОM || BC, BC ⊥ AK)
∠ SOM=90 градусов.
cos∠ SOM=cos 90 градусов=0.
О т в е т. 0