Задача 37936 Полное Исследование функции y=x/(x-1)^3...
Условие
y=x/(x–1)3
Решение
(– ∞ ;1) U(1;+ ∞ )
x=1 – вертикальная асимптота
так как
limx→1+0f(x)=+ ∞
limx→1–0f(x)=– ∞
Горизонтальная асимптота y=0,
так как
limx→ ∞f(x)= 0
Наклонной асимптоты нет, так
k=limx→ ∞f(x)/x= limx→ ∞х/((x–1)3·x)=0
Исследование функции с помощью первой производной
y`=((x)`·(x–1)3–x·((x–1)3)`)/(x–1)6
y`=((x–1)3–x·(3(x–1)2))/(x–1)6
y`=(x–1–3x)/(x–1)4
y`=(–2x–1)/(x–1)4
y`=0
–2x–1=0
x=–1/2 – точка максимума, производная меняет знак с + на –
y`< 0 функция убывает на (–1/2;1) U(1;+∞)
Функция убывает на (–1/2;1) U(1;+∞)
y` > 0 на (–∞; –1/2)
Функция возрастает на (–∞; –1/2)
Исследование функции с помощью второй производной
y``=((–2х–1)`·(x–1)4 – (–2x–1)·((x–1)4)`)/(x–1)8
y``=(–2·(x–1)4+4·(2x+1)·(x–1)3)/(x–1)8
y``=(–2x+2 +2x+1)/(x–1)5
y``=3/(x–1)5
y``<0 на (– ∞;1 )
кривая выпукла вверх на (– ∞;1 )
y``>0 на (1;+ ∞ )
кривая выпукла вниз на (1;+ ∞ )
точек перегиба нет