Задача 37936 Полное Исследование функции y=x/(x-1)^3...

vk147781824

2019-06-04 18:50:21

Полное Исследование функции
y=x/(x-1)^3

sova

2019-06-04 19:43:51

★

Область определения
(- ∞ ;1) U(1;+ ∞ )

[b]x=1 - вертикальная асимптота[/b]
так как

lim_(x→1+0)f(x)=+ ∞
lim_(x→1-0)f(x)=- ∞

[b]Горизонтальная асимптота y=0[/b],
так как
lim_(x→ ∞)f(x)= 0

Наклонной асимптоты нет, так

k=lim_(x→ ∞)f(x)/x= lim_(x→ ∞)х/((x-1)^3*x)=0



[b]Исследование функции с помощью первой производной[/b]

y`=((x)`*(x-1)^3-x*((x-1)^3)`)/(x-1)^6

y`=((x-1)^3-x*(3(x-1)^2))/(x-1)^6

y`=(x-1-3x)/(x-1)^4

y`=(-2x-1)/(x-1)^4

y`=0

-2x-1=0

x=-1/2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y`< 0 функция убывает на (-1/2;1) U(1;+∞)
Функция убывает на (-1/2;1) U(1;+∞)

y` > 0 на (-∞; -1/2)
Функция возрастает на (-∞; -1/2)




[b]Исследование функции с помощью второй производной[/b]

y``=((-2х-1)`*(x-1)^4 - (-2x-1)*((x-1)^4)`)/(x-1)^8


y``=(-2*(x-1)^4+4*(2x+1)*(x-1)^3)/(x-1)^8

y``=(-2x+2 +2x+1)/(x-1)^5

y``=3/(x-1)^5


y``<0 на (- ∞;1 )

кривая выпукла вверх на (- ∞;1 )

y``>0 на (1;+ ∞ )

кривая выпукла вниз на (1;+ ∞ )

точек перегиба нет