а) Докажите, что в сечении тетраэдра этой плоскостью получается треугольник, подобный треугольнику АВС.
б) Найдите периметр сечения, если РАВС = 28, а DM : MC = 3 : 1.
(стереометрия)
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон
[b]DM:DC[/b]=DP:DA=PM:AC
MQ||BC ⇒ Δ QDM ~ Δ BDC
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон
[b]DM:DC[/b]=DQ:DB=MQ:CB
Правые части равны, значит
DM:DC=DP:DA =[b]PM:AC[/b]=DQ:DB= [b]MQ:CB[/b]
(можно по теореме, обратной теореме Фалеса, см. приложение2)
MP||AC и MQ||BC
Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, плоскости АВС и PMQ параллельны:
∠ АСВ= ∠ РМQ
Δ PMQ ~ Δ АСВ. так как ∠ АСВ= ∠ РМQ и стороны, заключающие эти углы пропорциональны.
б)DM : MC = 3 : 1 ⇒ DM:DC=3:4
P( Δ PMQ) : P ( Δ АВС)=РМ:АС=DM:DC=3:4
P( Δ PMQ) : 28 = 3:4
P( Δ PMQ)= [b]21[/b]
О т в е т 21