Задача 41740 ...
Условие
Решение
Смотрим на пределы интегрирования
У первого интеграла:
y=0; y=1
x=0; x=sqrt(y)
Получаем область D_(1)
Рис. 1
У второго интеграла:
y=1; y=2
x=0; x=sqrt(2-y)
Получаем область D_(2)
Рис. 2
Общая область на рис. 3
Вертикальные полосы: x=0; x=1 - это и есть пределы интегрирования по переменной х
У линий x=sqrt(y) и x=sqrt(2-y)
выразим у через х
y=x^2 и y=2-x^2
О т в е т. ∫^(1)_(0)dx ∫ ^(2-x^2)_(x^2) f(x;y)dy
2.
Область на рис. 4
0 < x < 1
1-x < y < sqrt(1-x^2)
Запишем уравнения границ в полярных координатах
[blue]y=1-x[/blue]
ρ sinθ=1- ρ cos θ
ρ( sinθ+cos θ )=1
[blue] ρ =1/ ( sinθ+cos θ )[/blue] - уравнение линии входа в область в направлении лучей выходящих из точки O
[green]y=sqrt(1-x^2)[/green]
y^2=1-x^2
x^2+y^2=1
ρ ^2=1
[green]ρ =1[/green] - уравнение линии выхода из область в направлении лучей выходящих из точки O
Так как область в первой четверти, угол θ меняется от (π/2) ( это значение соответствует x=0) до 0 (это значение соответствует x=1)
О т в е т.
∫^(π/2)_(0)d θ ∫ ^(1)_(1/(cos θ +sin θ ))f( ρ cos θ ; ρ sin θ ) ρ d ρ
3.
Область интегрирования прямоугольник
2<x<3
(π/4)<y <(π/2)
Подытегральная функция
f(x;y)=ysin(2xy)
Постоянный множитель 12 можно вынести за знак двойного интеграла.
Из - за вида f(x;у), содержащего sin зависящий и от х и от у,
внешний интеграл берем по переменной х
= 12*∫ ^(3)_(2)dx ∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2x*y)dy
Сначала считаем внутренний интеграл:
∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2x*y)dy (2х в этом интеграле константа,интеграл только от переменной y)
Применяем метод интегрирования по частям:
u=y
dx=sin(2x*y)dxy
du=dy
v=(1/((2x))*(-cos(2xy))
∫ u*dv = u*v - ∫ v*du
∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2x*y)dy=
=-(y/2x)*cos(2xy)|^(y=π/2)_(y=π/4) - (1/(2x))∫ ^(y=π/2)_(y=π/2)(-cos2xy)dy=
=(-π/(4x))*cosπx +(π/(8x))*cos(πx/2) + (1/(2x))* sin(2xy)/(2x)|^(y=π/2)_(y=π/2)=
=(-π/4x)*cosπx +(π/8)*cos(πx/2) +(1/(4x^2))*(sin(πx)-sin((πx)/2)
Теперь считаем внешний:
=12*∫ ^(3)_(2)[b]([/b](-π/(4x))*cosπx +(π/(8x))*cos(πx/2) +(1/(4x^2))*(sin(πx)-sin((πx)/2)[b]) [/b] dx
Процесс утомительный.
Не нравится что х в знаменателе и под косинусом... Это даже не по частям...
Скорее все в условии sin2х только без y.
Тогда
внутренний интеграл:
∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2y)dy
Применяем метод интегрирования по частям:
u=y
dx=sin(2y)dxy
du=dy
v=(1/((2))*(-cos(2y))=-(cos(2y))/2
∫ u*dv = u*v - ∫ v*du
∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2y)dy=
=-(y*cos(2y))/2|^(y=π/2)_(y=π/4) - ∫ ^(y=π/2)_(y=π/2)((-cos2y)/2)dy=
=(-π/2)*cosπ +(π/4)*cos(π/2) + (1/(2))* ((sin(2y))/2)|^(y=π/2)_(y=π/2)=
=(-π/2)*(-1) +(π/2)*0 +(1/4)*(sin(π)-(1/4)sin(π/2)=
=(π/2)-(1/4)
Ну вот это прилично.
Теперь считаем внешний:
∫ ^(3)_(2)((π/2)-(1/4))dx=((π/2)-(1/4))*x|^(3)_(2)=(π/2)-(1/4)
Это ответ.
4.
= ∫^(2)_(0)dx ∫ ^(4)_(0)dy ∫ ^(5)_(0)(x+y+z)dx=
=∫^(2)_(0)dx ∫ ^(4)_(0)dy ( xz+yz+(z^2/2)|^(5)_(0)=
=∫^(2)_(0)dx ∫ ^(4)_(0)( 5x+5y+12,5)dy=
= ∫^(2)_(0)dx ( 5xy+(5y^2/2)+12,5y)| ^(4)_(0)=
= ∫^(2)_(0) (5x*4+(5*4^2/2)+12,5*4)dx=
= ∫^(2)_(0) (20x*4+40+50)dx= ∫^(2)_(0) (20x*4+90)dx=
=(10x^2+90x)|^(2)_(0)=40+180=220
Дальше негде писать...
Не надо все задачи выставлять в одном вопросе.
