Задача 20089 Решите уравнение...

slava191

28.11.2017

Решите уравнение log(sinx)(1+cos2x+cos4x)=0. Укажите решения уравнения, принадлежащие отрезку [0; Pi].

SOVA

28.11.2017

★

ОДЗ:
{sinx > 0; sinx ≠ 1
{1+ cos2x+ cos4x > 0
По определению
1+cos2x+cos4x=sinx^(0)
1+cos2x+cos4x=1 ( 1 > 0. значит условие ОДЗ
1+cos2x+cos4x > 0 выполнено

cos2x+cos4x=0
Формула
cosα + cos β

2cos((2x+4x)/2)cos((2x-4x)/2)=0
cos3x=0 или cosx=0

cos3x=0
3x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z
x=(Pi/6)+(Pi/3)k, k ∈ Z (с учетoм ОДЗ получим x=(Pi/6)+2Pik, или x=(5Pi/6)+2Pin, k, n∈ Z

cosx=0
x=(Pi/2)+Pim, m ∈ Z
при m=2k не удовлетворяют условию ОДЗ sinx ≠ 1
при m=2k+1 не удовлетворяют условию ОДЗ sinx > 0

О т в е т. (Pi/6)+2Pik; (5Pi/6)+2Pin, k, n∈ Z

Отрезку [0;Pi] принадлежат корни:
х=Pi/6 и х=5Pi/6