Задача 16757 Решите неравенство...
Условие
log(sqrt(31)-sqrt(21))(2^(|x|)-1) больше или равно log(sqrt(31)-sqrt(21))(-4^(|x|)+3*2^(|x|+1)-5)
Решение
{2^(|x|)-1 > 0;
{-4^(|x|)+3*2^(|x|+1)-5 > 0
Вернемся к нахождению ОДЗ позже.
Сравним sqrt(31)-sqrt(21) c 1
или
sqrt(31) и sqrt(21)+1
Возводим в квадрат
31 и 21 + 2sqrt(21) +1
уменьшим на 22
9 и 2sqrt(21)
Возводим в квадрат
81 < 4*21=84
Значит
sqrt(31) - sqrt(21) < 1
Основание логарифмической функции
0 < sqrt(31) - sqrt(21) < 1, значит функция убывающая и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
2^(|x|)-1 меньше или равно -4^(|x|)+3*2^(|x|+1)-5 (#)
Теперь для нахождения ОДЗ достаточно решить первое неравенство, первое будет выполняться в силу (#)
Итак, решаем систему двух неравенств:
{2^(|x|)-1 меньше или равно -4^(|x|)+3*2^(|x|+1)-5 (#)
{2^(|x|)-1 > 0
Замена переменной
2^(|x|)=t
t > 0
4^(|x|)=t^2
{t-1 меньше или равно -t^2+6t-5; (t^2-5t+4 меньше или равно 0)
{t-1 > 0
{1 меньше или равно t меньше или равно 4
{t > 1
1 < t меньше или равно 4
1 < 2^(|x|) меньше или равно 4
2^(0) < 2^(|x|) меньше или равно 2^2
0 < |x| меньше или равно 2 ⇒ х ≠0 и х∈[-2;2]⇒
х∈[-2;0) U(0;2]
О т в е т. [-2;0) U(0;2]