Задача 14621 помогите решить ,пожалуйста все решение...
Условие
Решение
Первое неравенство системы решаем методом замены переменной: 4^(-x)=t
t > 0 при любом х.
4^(1-2x)=4*4^(-2x)=4*(4^(-x))^2=4t^2
Решаем квадратное неравенство
2*4t^2-33t+4 меньше или равно 0
D=(-33)^2-4*8*4=1089-128=961
t=1/8 или t=4
(1/8) ≤ t ≤ 4
(1/8) ≤4^(-x) ≤ 4
2^(-3) ≤ 2^(-2x) ≤ 2^2⇒ -3 ≤ (-2x) ≤ 2⇒ -1 ≤ x ≤ 3/2.
Решаем второе неравенство системы
log_(x-1)2x^2 меньше или равно log_(x-1)(x-1)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
ОДЗ
{x-1 > 0; x-1 ≠ 1
{2x^2 > 0 ⇒ x≠0
x∈(1;2)U(2;+ ∞)
(x-1-1)*(2x^2-x+1) меньше или равно 0;
так как 2х^2-x+1 > 0 при любом х, D=1-4*2 < 0, то
(х-2) меньше или равно 2
С учетом ОДЗ получаем ответ второго неравенства
1 < x < 2
Решением системы является пересечение ответов первого -1 ≤ x ≤ 3/2 и второго 1 < x < 2
О т в е т. 1 < x≤ 3/2
№2.
Первое неравенство
2t^2-17t+8 ≤ 0, где t=4^(-x); t > 0
D=289-4*2*8=225
t=1/2 или t=8
2(t-(1/2))(t-8) ≤ 0;
(1/2) ≤ t ≤ 8;
(1/2) ≤ 4^(-x) ≤ 8 ⇒ 2^(-1)≤ 2^(-2x) ≤ 2^3 ⇒ -1≤ -2x ≤3.
Ответ первого неравенства -3/2 ≤ х ≤ 1/2.
ОДЗ второго неравенства
{х^2 > 0 ⇒ x≠0
{x^2≠1⇒ x≠-1 и х≠1
{(x+2)^2 > 0 ⇒ x≠-2
x∈(- ∞;-2)U(-2;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;+∞)
Применяя метод рационализации получим неравенство
(x^2-1)((x+2)^2-x^2) ≤ 0
4(x-1)(x+1)^2≤ 0
x∈(-∞;-1)U(-1;0)
C учетом ОДЗ решение второго неравенства
x∈(- ∞;-2)U(-2;-1)U(-1;0)U(0;1)
Решение системы
[-3/2;-1)U(-1;0)U(0;1/2]
№3 Неверное написано y^x. Основание не у, скорее всего 7
см. номер 4 ( ответ первого неравенства х≠0)
Второе неравенство
4^(x^2) ≤4^(3-2x) ⇒ x^2≤3-2x ⇒ x^2+2x-3 ≤0
D=4+12=16
x=-3 или х=1
(- ∞;-3]U[1;+ ∞);
О т в е т системы (- ∞;-3]U[1;+ ∞)
№4
Первое неравенство решаем методом замены переменной
7^x=t
7^(-x)=1/t
t > 0
t+(1/t) > 2 ⇒(t^2-2t+1)/t > 0 ⇒t > 0, значит и t^2-2t+1 > 0
(t-1)^2 > 0 ⇒ t≠1
7^x≠7^0
x≠0
Второе неравенство :
u ≤ 9/u, где u=3^x, u > 0
(u^2-9)/u ≤ 0
0 < u ≤ 3
3^x ≤ 3 ⇒ x ≤ 1
О т в е т системы. (- ∞;0)U(0;1]