Задача 43250 Найдите все значения а, при каждом из...

mariaairam

2020-01-07 12:51:59

Найдите все значения а, при каждом из которых система не имеет решений

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{x+ax+a}{x-2a-2} \geq 0\\ x+ax > 8 \end{matrix}\right.[/m]

sova

2020-01-07 13:29:28

Применяем графический метод

Рассматриваем плоскость xOa

Первое неравенство равносильно системе, поэтому получим две системы неравенств:

1)
{x+ax+a ≥ 0
{x-2a-2 >0
{x+ax>8

2)
{x+ax+a ≤ 0
{x-2a-2 <0
{x+ax>8


Уравнение
x+ax+a=0 определяет на плоскости xOa гиперболу

[m]x=\frac{-a}{a+1}[/m]

Гипербола разбивает плоскость хОа на две области ( внутреннюю - между двумя ветвями и внешнюю за ветвями)

Неравенству x+ax+a ≥ 0 удовлетворяет та часть, которая содержит, например точку (1;0), так как
0+1*0+1 ≥ 0 верно

см. рис.1 ( это внешняя область), красного цвета

Уравнение
x-2а-2=0 определяет на плоскости xOa

[i]прямую[/i] x=2a+2

Неравенству x-2a-2 >0 удовлетворяет та часть, которая содержит, например точку (-2;0), так как
0-2*(-2)-2 ≥ 0 верно 4-2 ≥ 0

рис. 2 ( область синего цвета, граница пунктиром, неравенство строгое)

Уравнение
x+ах=8 определяет на плоскости xOa

[i]гиперболу[/i]

[m]x=\frac{8}{a+1}[/m]

Гипербола разбивает плоскость хОа на две области ( внутреннюю - между двумя ветвями и внешнюю за ветвями)


Неравенству x+aх >8 удовлетворяет та часть, которая содержит, например точку (1;8), так как
8+1*8>8 верно 16 > 8
рис. 3( это внешняя область), зеленого цвета

Системе 1 удовлетворяет множество рис. 4

(см. темно зеленую область, пересечения трех областей: красной, синей и зеленой)

Не удовлетворяют неравенству точки координаты которых находятся вне темно зеленой области.

Это точки

a ∈ [-3;-1]

Точно также вторая система
( см. рис. 5)
х ∈ [-1; 1]

О т в е т. Объединение указанных множеств

[-3;-1]U[-1; 1]=[-3; 1]