Задача 24358 ...

u9425168115

28 февраля 2018 г.

Решите систему неравенств

{ log_7–x (x+3)/(x–7)⁸ ≥ –8,
{ x³ + 6x² + (40x² + 3x – 24)/(x – 8) ≤ 3 .

SOVA

28 февраля 2018 г.

★

ОДЗ:
{7–x > 0 ⇒ x < 7
{7–x ≠ 1 ⇒ x ≠ 6
{(x+3)/(x–7)⁸ > 0 ⇒ –3 < x < 7 или x > 7

ОДЗ: х ∈ (–3;6)U(6;7)

Первое неравенство:
log_7–x(x+3)/(x–7)⁸ ≥ –8·log_7–x(7–x)
или
log_7–x(x+3)/(x–7)⁸ ≥ log_7–x(7–x)^–8

log_7–x(x+3)/(x–7)⁸ ≥ log_7–x(1/(7–x)⁸)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств, согласно которому последнее неравенство на ОДЗ равносильно неравенству
(7–x–1)·((x+3)/(x–7):8–(1/(x–7)⁸) ≥ 0
(6–х)·(х+2)/(х–7)⁸ ≥ 0

(–3) __–__ [2] _____+______ (6) __–___ (7)

Решение первого неравенства с учетом ОДЗ:
2 ≤ x < 6

Решаем второе неравенство.
Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю
((x³+6x²)·(x–8)+40x²+3x–24–3x+24 )/(x–8) ≤ 0

(x²–2x+88)·x²/(x–8) ≤ 0
__–__ [0] _____–____ (8) __+___

(–∞;8)

решением системы служит пересечение решений первого и второго неравенств

О т в е т. [2;6)