Задача 28575 Все на картинке...
Условие
Все решения
y`=(y^2-xy)/(-x^2)
Однородное уравнение второй степени однородности
Замена
y/x=u
y=xu
dy=xdu+udx
Подставляем в данное уравнение:
(x^2u^2-x^2u)dx=-x^3du
(u^2-u)dx=-xdu - уравнение с разделяющимися переменными
dx/x=-du/(u^2-u)
Интегрируем
Разложим дробь на простейшие
-1/(u^2-u)=(1/u)-(1/(u-1))
dx/x=-du/u^2
ln|x|=ln|u|-ln|u-1|+lnC
ln|x|=lnC*|u|/|u-1|
x=C/(u*(u-1))
u=y/x
x=C/(y/x)*((y/x)-1)
x=Cx^2/(y*(y-1))
y*(y-1)=Cx
y^2-y-Cx=0 - общее решение данного уравнения
3.
vector{a}=(2;-3)
Направляющие косинусы:
cos альфа =2/sqrt(2^2+(-3)^2)=2/sqrt(13)
cos бета =-3/sqrt(2^2+(-3)^2)=-3/sqrt(13)
z`_(x)=2/(2x+3y)
z`_(y)=3/(2x+3y)
z`_(x)(A)=2/(2*2+3*2)=2/10
z`_(y)(A)=3/(2*2+3*2)=3/10
z`_(vector{a})=z`_(x)(A)*cos альфа +z`_(y)(A)*cos бета=
=(2/10)*(2/sqrt(13))+(3/10)*(-3/sqrt(13))=
=4/(10sqrt(13)) - 9/(10sqrt(13)) = -5/(10sqrt(13))=
=-1/(2sqr(13))
О т в е т. -1/(2sqrt(13))
y'=2*.(y/x)-(y/x)^2 . Введем новую функцию u=y/x. y=ux.
y'=dux/dx+u. Подставляя получим: dux/dx+u=2u-u^2.
dux/dx=u-u^2; dx/x=du/(u-u^2) Интегрируя это уравнение, получим: ∫ dx/x= ∫ du/(u-u^2). Представим в виде суммы двух дробей дробь 1/(u-u^2)=1/u(1-u)=1/u+1/(1-u). Находим интегралы ∫ dx/x= ∫ du/u+ ∫ du/(1-u).
lnx=lnu-ln(1-u)+c. Для удобства вычисления положим с=lnc. тогда получим lnx+lnc=lnu-ln(1-u).
lncx=lnu/(1-u). отсюда потенцируя получаем сx=u/(1-u).
Возвращаясь к подстановке получаем: cx=y/x:(1-y/x)=y/x:((x-y)/x), или cx=yx/(x*(x-y)) Получаем ответ:
cx=y/(x-y).
1) Интегрирование по частям.
Пусть функция u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на некотором промежутке X. Найдем дифференциал произведения этих функций:
d(u*v)=u'vdx+uv'dx, Так как по условию функции u'v и uv' непрерывны ,можно проинтегрировать обе части этого равенства , ∫ d(uv)= ∫ u'vdx+ ∫ uv'dx. или ∫ d(uv)= ∫ vdu+ ∫ udv.
Но ∫ d(uv)=uv+c. следовательно , ∫ udv=uv- ∫ vdu