Задача 28575 ...

vk204717778

20 июня 2018 г.

Учебный предмет: Высшая математика

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ – 3

1. Интегрирование по частям неопределенного интеграла.

2. Дана функция z = ln(2x + 3y), точка A(2;2); вектор ā = {2;–3, найти: 1) gradz(A); производную в точке А в направлении ā.

3. Решить дифференциальное уравнение 1–го порядка

(y² – 2xy)dx = –x²dy

SOVA

27 июня 2018 г.

2.
y`=(y²–xy)/(–x²)
Однородное уравнение второй степени однородности
Замена
y/x=u
y=xu
dy=xdu+udx
Подставляем в данное уравнение:

(x²u²–x²u)dx=–x³du
(u²–u)dx=–xdu – уравнение с разделяющимися переменными
dx/x=–du/(u²–u)
Интегрируем
Разложим дробь на простейшие
–1/(u²–u)=(1/u)–(1/(u–1))
dx/x=–du/u²

ln|x|=ln|u|–ln|u–1|+lnC
ln|x|=lnC·|u|/|u–1|
x=C/(u·(u–1))
u=y/x
x=C/(y/x)·((y/x)–1)
x=Cx²/(y·(y–1))
y·(y–1)=Cx
y²–y–Cx=0 – общее решение данного уравнения
3.
a=(2;–3)
Направляющие косинусы:
cos α =2/√2²+(–3)²=2/√13
cos β =–3/√2²+(–3)²=–3/√13

z`<sub>x</sub>=2/(2x+3y)
z`_y=3/(2x+3y)

z`<sub>x</sub>(A)=2/(2·2+3·2)=2/10
z`_y(A)=3/(2·2+3·2)=3/10

z`<sub>a</sub>=z`_x(A)·cos α +z`_y(A)·cos β=

=(2/10)·(2/√13)+(3/10)·(–3/√13)=

=4/(10√13) – 9/(10√13) = –5/(10√13)=

=–1/(2sqr(13))

О т в е т. –1/(2√13)

vk397114329

21 июня 2018 г.

dy/dx=(y²–2xy)/–x²
y'=2·.(y/x)–(y/x)² . Введем новую функцию u=y/x. y=ux.
y'=dux/dx+u. Подставляя получим: dux/dx+u=2u–u².
dux/dx=u–u²; dx/x=du/(u–u²) Интегрируя это уравнение, получим: ∫ dx/x= ∫ du/(u–u²). Представим в виде суммы двух дробей дробь 1/(u–u²)=1/u(1–u)=1/u+1/(1–u). Находим интегралы ∫ dx/x= ∫ du/u+ ∫ du/(1–u).
lnx=lnu–ln(1–u)+c. Для удобства вычисления положим с=lnc. тогда получим lnx+lnc=lnu–ln(1–u).
lncx=lnu/(1–u). отсюда потенцируя получаем сx=u/(1–u).
Возвращаясь к подстановке получаем: cx=y/x:(1–y/x)=y/x:((x–y)/x), или cx=yx/(x·(x–y)) Получаем ответ:
cx=y/(x–y).
1) Интегрирование по частям.
Пусть функция u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на некотором промежутке X. Найдем дифференциал произведения этих функций:
d(u·v)=u'vdx+uv'dx, Так как по условию функции u'v и uv' непрерывны ,можно проинтегрировать обе части этого равенства , ∫ d(uv)= ∫ u'vdx+ ∫ uv'dx. или ∫ d(uv)= ∫ vdu+ ∫ udv.
Но ∫ d(uv)=uv+c. следовательно , ∫ udv=uv– ∫ vdu