Задача 24474 Л16) Через вершины А и В треугольника...

slava191

3 марта 2018 г. в 00:00

Л16) Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность радиуса 2√5, отсекающая от прямой ВС отрезок 4√5 и касающаяся прямой АС в точке А. Из точки В проведен перпендикуляр к прямой ВС до пересечения с прямой АС в точке F.

А) Докажите AF=BF

Б) Найдите площадь треугольника АВС, если BF=2.

SOVA

3 апреля 2018 г. в 00:00

★

1) рис.1 ВС=2R – диаметр окружности.
BF ⊥ BC
AF ⊥ OA
По свойству касательных, проведенных из точки F отрезки касательных равны.
AF=BF
Из прямоугольного треугольника OAF:
tg ∠ OFA=OA/FA=2√5/2=√5
Δ OBF = ΔOAF по двум катетам
FO – биссектриса
Применяем формулу тангенса двойного угла
tg ∠ BFA=2tg∠ OFA/(1–tg²∠ OFA)=2√5/(1–5)=–√5/2 < 0
Значит, ∠ BFA > π/2
∠ BFA – тупой, что не соответствует рис.1

2)
см. рис. 2
продолжение стороны ВС
ВТ=2R

ОА=ОВ=2√5
AF=BF=2
Из прямоугольного треугольника AOF
tg ∠ AOF=AF/AO=2/2√5=1/√5
Прямоугольные треугольники AOF и BOF равны по двум катетам.
OF– биссектриса
По формуле тангенса двойного угла:
tg ∠ AOC=2·tg ∠ AOF/(1–tg ²∠ AOF)=√5/2
cos²∠ AOC=1/(1+tg² ∠ AOB)=1/(1+5/4)=4/9
cos∠ AOC=2/3
cos∠ AOC=OA/OC ⇒ OC=OA/cos ∠ AOC=3√5

BC=OC–OB=3√5–2√5=√5

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BFC:
FC²=BC²+BF²=(√5)²+2²=9
FC=3
AC=5
S( Δ ABC)=(1/2)AC·BC·sin ∠ ACO=
=( sin ∠ ACO=cos ∠ AOC=2/3)=
=(1/2)·5·√5·(2/3)=5√5/3

О т в е т. 5 √5/3