Задача 35295 Помогите пожалуйста...

svdy031

3 апреля 2019 г. в 12:16

Помогите пожалуйста

sova

3 апреля 2019 г. в 13:44

y=(x²+2х–1)/x

1.область определения функции D(y)=(– ∞ ;0) U(0; + ∞ )

2. Область изменения функции E(y) =(–∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(–x)=((–x)²+2·(–х)–1)/((–x))=(x²–2х–1)/(–x)

f(–x)≠ f(x)
f(–x) ≠ –f(x)

функция не является ни чётной ни нечётной

4.периодичность – непериодическая

5.нули функции
y=0
x²+2x–1=0
D=4–4·(–1)=8

x₁=(–2–2√2)/2=–1–√2; x₂=(–2+2√2)/2=–1+√2;

6.интервалы знака постоянства

_–__–1–√2 __+__ (0) __–_ _–1+√2 ____+__

y > 0 при x<–1–√2 и 0 <x <–1+√2
y < 0 при –1–√2 < x < 0 и х > –1+√2

Исследование с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности
lim_x→+∞ f(x) =+∞
lim_{x→ – ∞}f(x) = –∞

9.асимптоты граф. функции

x=0 – вертикальная асимптота, так как оба односторонних предела бесконечны:

lim_{x→ – 0} f(x) =+∞
lim_{x→ + 0} f(x) =+∞

k=lim_{x→ ∞}f(x)/x=lim_{x→ ∞}(x²+2x–1)/(x²)=1

b=lim_{x→ ∞}(f(x)–kx)=lim_{x→ ∞}(((x²+2х–1)/(x))–x)=lim_{x→ ∞}(2x–1)/x=2


y=x + 2 – наклонная асимптота


3.) исследовать с помощью производной

y`=((x<sup>2</sup>+2x–1)`·x–(x)`·(x<sup>2</sup>+2x–1))/(x)<sup>2</sup>
y`=(x²+1)/(x²) > 0

Возрастает на (–∞ ; 0) и на (0; + ∞ )

4) y``=(x²+1)`·x<sup>2</sup>–(x<sup>2</sup>)`·(x²+1)/x⁴=(2x·x²–2x·(x²+1))/x⁴=–2x/x⁴=–2/x³

y``>0 на (–∞ ; 0)
Функция выпукла вниз
y``< 0 на (0;+∞ )
Функция выпукла вверх


См. рис.