Задача 51721 Помогите решить диф уравнение, найти...
Условие
Решение
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+25=0
k1=-5*i; k2=5i– корни комплексно-сопряженные
α =0 β=5
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*cos5x+C_(2)sin5x
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=[blue]e^(х)*(Asin5x+Bcos5x)[/blue]
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x)
y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x)
y``_(част)=e^(x)(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x)
y``_(част)=e^(x)(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Аsin5x-25Bcos5x)
подставляем в данное уравнение:
e^(x)(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Аsin5x-25Bcos5x)+25*[blue]e^(х)*(Asin5x+Bcos5x)[/blue]=e^(x)*(cos5x-10sin5x)
Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Аsin5x-25Bcos5x+25Asin5x+25Bcos5x=cos5x-10sin5x
(А-5В-5В-25А+A)sin5x+(B+5A+5A-25B+B)*cos5x=cos5x-10sin5x
А-5В-5В-25А+25A=-10
B+5A+5A-25B+25B=1
Cистема:
{А-5В-5В-25А+25A=-10
{B+5A+5A-25B+25B=1
{A-10B=-10 ⇒ А=10В-10 и подставляем во второе
{10A+B=1
10(10В-10)+В=1
B=1
A=0
y_(част)=e^(х)*cos5x
О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)*cos5x+C_(2)sin5x+e^(х)*cos5x
РЕШЕНИЕ задачи Коши:
y(0)=3
y`(0)=-4
Подставляем в общее решение:
х=0; y=3
3=С_(1)*cos0+C_(2)sin0+e^(0)*cos0
sin0=0; cos0=1;e^(0)=1
[b]3=С_(1)+1[/b] ⇒ C_(1)=2
Находим производную:
y`=(С_(1)*cos5x+C_(2)sin5x+e^(х)*cos5x)`
y`=-5С_(1)*sin5x+5C_(2)cos5x+e^(х)*cos5x+ e^(х)*5*(-sin5x)
y`(0)=-4
Подставляем:
[b]-4=5C_(2)+1[/b]⇒ C_(2)=-1
и получаем решение задачи Коши ( решение, удовлетворяющее условиям):
у=2*cos5x-sin5x+e^(х)*cos5x
2x+5=8 ⇒ 2x=8-5 ⇒ 2x=3 ⇒ x=3:2 ⇒ [b]x[/b]=1,5
2*(3x+1)+5=8 ⇒ 2*(3x+1)=8-5 ⇒ 2*(3x+1)=3 ⇒ (3x+1)=3:2 ⇒ [b]3x+1[/b]=1,5 ⇒
3x=1,5-1
3x=0,5
x=0,5:3
x=[m]\frac{1}{2}:3[/m]
x=[m]\frac{1}{2}\cdot {1}{3}[/m]
x==[m]\frac{1}{6}[/m]