Задача 37413 ...
Условие
a) 3^(2x)-3^(x)=72
б) 4^(x)-2^(x+1)=48
в) 5^(x+4)+3⋅4^(x+3)=4^(x+4)+5^(x+3)⋅4
г) 16⋅9^(x)-25⋅12^(x)+9⋅16^(x)=0
Решение
3^(2x)–3^(x)=72
Квадратное уравнение относительно 3^(x)
3^(x)=t
3^(2x)=t^2
t^2-t-72=0
D=1-4*(-72)=289
t_(1,2)=(1 ± 17)/2
t_(1)=9; t_(2)=8
Обратный переход
3^(x)=9 ⇒ 3^(x)=3^2 ⇒ x=2
3^(x)=8 ⇒ x=log_(3)8
О т в е т. log_(3)8; 9
б)
Аналогично,
2^(x)=t
t^2-2t-48=0
D=4-4*(-48)=4*49
t_(1,2)=(2 ±7)/2
t_(1)=-5/2; t_(2)=9/2
Обратный переход
2^(x)= -5/2
уравнение не имеет корней 2^(x)> 0 при любом х
2^(x)=9/2 ⇒ x=log_(2)(9/2)
х=log_(2)9-log_(2)2
x=log_(2)3^2-1
x=2log_(2)3-1
О т в е т. 2log_(2)3-1
в) 5^(x+4)+3*4^(x+3)=4^(x+4)+5^(x+3)⋅4
3*4^(x+3)-4^(x+4)=5^(x+3)⋅4-5^(x+4)
4^(x+3)*(3-4)=5*(x+3)*(4-5)
4^(х+3)=5^(x+3)
(4/5)^(х+3)=1
x+3=0
x=-3
О т в е т. -3
г) 16⋅9^(x)–25⋅12^(x)+9⋅16^(x)=0
Делим на 16^(x) >0
16*(9/16)^(x)-25*(3/4)^(x) +9=0
Квадратное уравнение относительно (3/4)^(x)
(3/4)^(x)=t
(9/16)^(x)=t^2
16t^2-25t+9=0
D=25^2-4*16*9=49
t_(1,2)=(25 ±7)/32
t_(1)=9/16; t_(2)=1
Обратный переход
(9/16)^(x)=9/16 ⇒ x=1
(9/16)^(x)=1 ⇒ x=0
О т в е т. 0; 1