Задача 10834 В прямоугольный треугольник АВС с прямым...

slava191

25.10.2016

В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами АВ = 3; АС = 5 вписан квадрат ADEF.

а) Докажите, что треугольники BDE и EFC подобны.
б) Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадрата ADEF.

SOVA

25.10.2016

★

DE ⊥ АВ и АС⊥ АВ ⇒ DE || AC
∠ECF=∠BED- соответственные углы при параллельных прямых DE и AC и секущей СВ.
EF ⊥ АC и АB⊥ АC ⇒ EF || AB
∠CEF=∠EBD- соответственные углы при параллельных прямых EF и AB и секущей СВ.
Треугольники BDE и EFC подобны по двум углам.

б) Пусть AF=AD=ED=EF=x
Тогда BD=3-х; CF=5-x
Из подобия
ED:CF=BD:EF
x:(5-x)=(3-x):x
Основное свойство пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению средних
х^2=(5-x)(3-x)
x^2=15-3x-5x+x^2
8x=15
x=15/8

CF=5-(15/8)=25/8

S(Δ CEF)=CF•EF/2=(1/2)•(25/8)•(15/8)=375/128

S(квадрата)=(15/8)^2=225/64

S(Δ CEF): S(квадрата)=(375/128):(225/64)=

=(375/128) • (64/225)=15/18=5/6

О т в е т. 5/6