Задача 38133 Найти частное решение линейного...

people34

2019-06-13 23:35:17

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям.

sova

2019-06-13 23:52:25

★

Решаем однородное:
y``–y`-2y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2–k-2=0
D=1+8=9
k_(1)=-1; k_(2)=2

y=C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(2x) – общее решение однородного.

f(x)=3e^(2x)


y_(частное неоднородного)=A*x*e^(2x)
2 – корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на х ^(1)


y`_(частное неодн)=A*(x)`*e^(2x)+A*x*(e^(2x))`=

=A*e^(2x)+A*x*e^(2x)*(2x)`=

=A*e^(2x)+2*A*x*e^(2x)

y``_(частное неоднород)=2Ae^(2x) + 2*(A*e^(2x)+2*A*x*e^(2x))=

=4Ae^(2x)+4Axe^(2x)


Подставляем в данное уравнение

4Ae^(2x)+4Axe^(2x) - A*e^(2x)-2*A*x*e^(2x) -2A*x*e^(2x)=3e^(2x)

3A=3

A=1

y_(частное неодн)=x*e^(2x)

О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн неодн)


y= C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(2x) +x*e^(2x)

y`=-C_(1)e^(-x)+2C_(2)e^(2x)+e^(2x)+2x*e^(2x)
Так как
y(0)=2
y`(0)=5,


2=C_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) +0*e^(0) ⇒ [b] С_(1)+С_(2)=2[/b]
5=-C_(1)e^(0)+2C_(2)e^(0)+e^(0)+2*0*e^(0) ⇒ [b]- С_(1)+2*С_(2)+1=5[/b]

3С_(2)=6
С_(2)=2
С_(1)=0

Решение удовлетворяющее начальным условиям ( решение задачи Коши)
y= 2*e^(2x) +x*e^(2x)