✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 38133 Найти частное решение линейного

УСЛОВИЕ:

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям.

РЕШЕНИЕ ОТ sova ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Решаем однородное:
y``–y`-2y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2–k-2=0
D=1+8=9
k_(1)=-1; k_(2)=2

y=C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(2x) – общее решение однородного.

f(x)=3e^(2x)


y_(частное неоднородного)=A*x*e^(2x)
2 – корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на х ^(1)


y`_(частное неодн)=A*(x)`*e^(2x)+A*x*(e^(2x))`=

=A*e^(2x)+A*x*e^(2x)*(2x)`=

=A*e^(2x)+2*A*x*e^(2x)

y``_(частное неоднород)=2Ae^(2x) + 2*(A*e^(2x)+2*A*x*e^(2x))=

=4Ae^(2x)+4Axe^(2x)


Подставляем в данное уравнение

4Ae^(2x)+4Axe^(2x) - A*e^(2x)-2*A*x*e^(2x) -2A*x*e^(2x)=3e^(2x)

3A=3

A=1

y_(частное неодн)=x*e^(2x)

О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн неодн)


y= C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(2x) +x*e^(2x)

y`=-C_(1)e^(-x)+2C_(2)e^(2x)+e^(2x)+2x*e^(2x)
Так как
y(0)=2
y`(0)=5,


2=C_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) +0*e^(0) ⇒ [b] С_(1)+С_(2)=2[/b]
5=-C_(1)e^(0)+2C_(2)e^(0)+e^(0)+2*0*e^(0) ⇒ [b]- С_(1)+2*С_(2)+1=5[/b]

3С_(2)=6
С_(2)=2
С_(1)=0

Решение удовлетворяющее начальным условиям ( решение задачи Коши)
y= 2*e^(2x) +x*e^(2x)

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

Добавил people34, просмотры: ☺ 125 ⌚ 2019-06-13 23:35:17. математика 1k класс

Решения пользователей

Лучший ответ к заданию выводится как основной
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
см. второй замечательный предел

\lim_{x \to\infty}(\frac{2x+5}{2x-3})^{5x-4}=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{2x+5}{x}}{\frac{2x-3}{x}})^{5x}\cdot(\frac{\frac{2x+5}{x}}{\frac{2x-3}{x}})^{-4} =

Предел произведения равен произведению пределов.
\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{2x+5}{x}}{\frac{2x-3}{x}})^{-4}=1^(-4)=1

\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{2x+5}{2x}}{\frac{2x-3}{2x}})^{5x}=

=\lim_{x \to\infty}\frac{(1+\frac{5}{2x})^{5x}}{(1-\frac{3}{2x})^{5x}}=

\lim_{x \to\infty}\frac{((1+\frac{5}{2x})^{\frac{2x}{5}})^{\frac{25}{2}}}{((1-\frac{3}{2x})^{-\frac{2x}{3}})^{\frac{-15}{2}}}=\frac{e^{\frac{25}{2}}}{e^{\frac{-15}{2}}}=e^{\frac{25}{2}-(-\frac{15}{2})}=e^{20}
✎ к задаче 41801
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''–9y'+20y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9k+20=0

D=(-9)^2-4*20=1

k_(1,2)=(9 ± 1)/2

k_(1)=4; k_(2)=5– корни действительные различные


Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(k_(1)х)+C_(2)*e^(k_(2)x)

В данном случае

y_(одн.)=С_(1)*e^(4х)+C_(2)*e^(5x)


Так как k_(1)=4 и правая часть содержит e^(4x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=A*[b]x[/b]*e^(4x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=А*e^(4x)+A*x*e^(4x)*(4x)`=А*e^(4x)+4A*x*e^(4x)

y``_(част)=4A*e^(4x)+4*(А*e^(4x)+4A*x*e^(4x))=

=8А*e^(4x)+16A*x*e^(4x)


подставляем в данное уравнение:

8А*e^(4x)+16A*x*e^(4x))-9*(А*e^(4x)+4A*x*e^(4x))+20Ax*e^(4x)=3e^(4x)

-A*e^(4x)=3e^(4x)

A=-3



О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)=

[b]y=С_(1)*e^(4x)+C_(2)*e^(5x)-3*x*e^(4x)[/b]

При начальных условиях
y(0)=0
найдем значения коэффициентов
C_(1) и С_(2)

[b]0=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0)-3*0e^(0)[/b]

C_(1)+C_(2)=0

[blue]y`=4*С_(1)*e^(4x)+5*C_(2)*e^(5x)-3*e^(4x)-12x*e^(4x)[/blue]

y'(0)=0

[blue]0=4*С_(1)*e^(0)+5*C_(2)*e^(0)-3*e^(0)-12*0*e^(0)[/blue]

4C_(1)+5C_(2)=3

Система:
{[b]C_(1)+C_(2)=0[/b]
{[blue]4C_(1)+5C_(2)=3[/blue]

{[b]-4C_(1)-4C_(2)=0[/b]
{[blue]4C_(1)+5C_(2)=3[/blue]

Cкладываем:
C_(2)=3

C_(1)=-C_(2)=-3

Решение при начальных условиях:

[b]y=3*e^(4x)-3e^(5x)-3xe^(4x)[/b]



✎ к задаче 41800
По условию
h=H/2

Δ A1O1K ∼ Δ AOK (A_(1)O_(1) || AO)

A_(1)O_(1):AO=h:H

r:R=h:H

h:H=(H/2):H=1:2

r:R=1:2


V_(1)=(4/3)πr^3
V_(2)=(4/3)πR^2

V_(1):V_(2)=((4/3)πr^3) :((4/3)πR^2)=r^3/R^3=(r/R)^3

Треугольники A1O1K и AOK подобны с коэффициентом подобия 1/2

Объемы относятся как [i]кубы[/i] коэффициента подобия,

V(налитой жидкости):V(сосуда)=(r/R)=(1/2)^3=(1/8),

V(cосуда)=V(налитой жидкости):(1/8)=

=70*8 мл.=560 мл.


560 мл - 70мл=490 мл надо долить.
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 41795
В равнобедренном треугольнике высота ВЕ и медиана и биссектриса.
Значит АЕ=ЕС=\frac{\sqrt{6,6}}{2}

По теореме Пифагора

АВ^2=BE^2+AE^2=0,2^2+(\frac{\sqrt{6,6}}{2})^2=

=0,04+ \frac{6,6}{4}=0,04+1,65=1,69

AB=sqrt(1,69)=1,3
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 41796
1) Делим и числитель и знаменатель на х:
\lim_{x \to \infty }\frac{1-2x}{3x-1}=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1-2x}{x}}{\frac{3x-1}{x}}=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1}{x}-\frac{2x}{x}}{\frac{3x}{x}-\frac{1}{x}}=
=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1}{x}-2}{3-\frac{1}{x}}=\frac{0-2}{3-0}=-\frac{2}{3}


2) Умножаем и числитель и знаменатель на
(√ 1+x +√ 1–x)

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{3x}=\lim_{x \to 0 }\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{3x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=

=\lim_{x \to 0}\frac{1+x-(1-x)}{3x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{3x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=

\lim_{x \to 0}\frac{2}{3\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{2}{3\cdot(\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0})}=\frac{1}{3}

3)
см. первый замечательный предел

\lim_{x \to 0 }\frac{1-cox}{5x}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 0 }\frac{2\cdot sin^2\frac{x}{2}}{5x}= \lim_{x \to 0 }\frac{2\cdot sin\frac{x}{2}}{2\cdot \frac{x}{2}}\cdot sin\frac{x}{2}=1\cdot 0=0

4)

см. второй замечательный предел

\lim_{x \to\infty}(\frac{x+3}{x-2})^{x}=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{x+3}{x}}{\frac{x-2}{x}})^{x}=\lim_{x \to\infty}\frac{(1+\frac{3}{x})^{x}}{(1-\frac{2}{x})^{x}}=\frac{e^{3}}{e^{-2}}=e^{5}


✎ к задаче 41799