Задача 29948 Прямая, проходящая через середину М...

slava191

4 октября 2018 г. в 17:43

Прямая, проходящая через середину М гипотенузы АВ прямоугольного
треугольника АВС, перпендикулярна СМ и пересекает
катет АС в точке К. При этом АК : КС =1:2.

а) Докажите, что угол BAC = 30°.

б) Пусть прямые МК и ВС пересекаются в точке Р, а прямые АР и
ВК — в точке Q. Найдите KQ, если ВС = 6√7 . [v8–16]

sova

4 октября 2018 г. в 20:53

а)
В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы – центр описанной окружности.
Пусть
AM=BM=CM=R

Треугольники ВМС и АМС – равнобедренные.
∠МВС=∠ВСМ
∠МСА=∠МАС

Прямоугольные треугольники
АВС и СМК подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
АВ : СК = АС : СM

Пусть х – коэффициент пропорциональности.
AK=x
KC=2x

2R : 2x = 3x : R

2R²=6x²
R²=3x²
R=x·√3

сos ∠ BAC=AC/AB=3x/2R=3x/2x·√3=√3/2 ⇒
∠ BAC = 30 °

б)
Δ ВМС – равностороний.
По условию ВС=6√7
BC=R

R=6√7
x=6√7/√3=2√21

AK=2√21
KC=4√21

По теореме Пифагора
из прямоугольного треугольника ВСК
ВК²=BC²+CK²=(6√7)²+(4√21)²=588
BK=√588

В прямоугольном треугольнике РСМ
∠ РСМ=60 °, значит ∠ СРМ=30 °.
Катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы.
Значит гипотенуза РС=2СM=2R=12√7

Т.е. точка В – середина СР.