Задача 21439 Найдите множество значений функции...
Условие
Решение
Выражаем х через у
y*sqrt*(x^2+4)-3y=sqrt(x^2+4)-2
sqrt(x^2+4)=(3y-2)/(y-1)
Эта функция является обратной к данной у=f(x).
Множество значений функции у=f(x) совпадает с областью определения функции х=f^(-1)(y)
D(x):
(3y-2)/(y-1) больше или равно 0 ⇒ (-бесконечность;2/3]U(1;+бесконечность)
О т в е т. (-бесконечность;2/3]U(1;+бесконечность)
Однако,
при y=2/3
2/3=(sqrt(x^2+4)-2)/(sqrt(x^2+4)-3)
2sqrt(x^2+4)-6=3sqrt(x^2+4)-6
sqrt(x^2+4)=0
x^2+4=0
уравнение не имеет корней.
Нет таких х, при которых у=2/3
2 способ
((sqrt(x^2+4)-3)+1)/(sqrt(x^2+4)-3)=
=1+(1/(sqrt(x^2+4)-3))=
=1+(sqrt(x^2+4)+3)/(x^2-5)
x=-sqrt(5) и х=sqrt(5) - вертикальные асимптоты
y=1 - горизонтальная асимптота
При x < - sqrt(5) и x > sqrt(5) y > 1.
Значит
при x ∈ ( - бесконечность; -sqrt(5))U(sqrt(5);+ бесконечность) y ∈ (1; + бесконечность)
При x ∈ ( -sqrt(5); sqrt(5)) x^2-5 < 0, график расположен ниже оси Ох
y=(sqrt(4)-2)/(sqrt(4)-3)=0/(-1)=0 - наибольшее значение функции на (-sqrt(5); sqrt(5))
Значит при x ∈ ( -sqrt(5); sqrt(5)) получаем
y∈(-бесконечность;0]
О т в е т.
E(y)=(-бесконечность;0]U(1;+бесконечность) ( cм. рисунок)