Задача 41604 Найти угол между прямой и плоскостью...
Условие
Решение
Угол между прямой и плоскостью - угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.
Нормальный вектор плоскости Ax+By+Cz+D=0:
vector{n}={A;B;C)
Из уравнения плоскости 12х+у+z=0 получаем:
[b]vector{n}={12;1;1)[/b]
Находим направляющий вектор прямой.
Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей.
Найдем две точки, принадлежащие этой прямой как линии пересечения двух плоскостей
Таких точек бесчисленное множество
Обозначим одну точку как M, вторую как N
Пусть точка М такова, что ее первая координата равна 0.
Подставим х=0 в систему двух уравнений:
{-2y+3z+5=0
{y-z-1=0
Умножаем второе уравнение на 2
{-2y+3z+5=0
{2y-2z-2=0
Складываем: z+3=0 ⇒ z=-3
y=z+1=-3+1=-2
[b]M(0;-2;-3)[/b]
Пусть точка N такова, что ее третья координата равна 0
Подставим z=0 в систему двух уравнений:
{x-2y+5=0
{2x+y-1=0
Умножаем второе уравнение на 2
{x-2y+5=0
{2x+2y-2=0
Складываем: 3x+3=0 ⇒ x=-1
y=-2x-1=-2*(-1)-1=1
[b]N(-1;1;0)[/b]
[b]vector{MN}[/b]=(-1-0;1-(-2);0-(-3))=[b](-1;3;3)[/b] - направляющий вектор прямой
Угол между векторами vector{n}={12;1;1) и vector{MN}=(-1;3;3)
( см. формулу в приложении)
vector{n}* vector{MN}=12*(-1)+1*3+1*(3)=-6
| vector{n}|=sqrt(12^2+1^2+1^2)=sqrt(146)
|vector{MN}|=sqrt((-1)^2+3^2+3^2)=sqrt(19)
[m]cos(\angle (\vec{n},\vec{MN}))=\frac{|-6|}{\sqrt{146}\cdot \sqrt{19}}[/m]
[m]\angle (\vec{n},\vec{MN})=arccos \frac{6}{\sqrt{146}\cdot \sqrt{19}}[/m]
