Задача 45010 ...

nast

14 марта 2020 г. в 17:15

Асимптоты гиперболы перпендикулярны, а отношение большего фокального радиуса точки M(−6;y) к меньшему радиусу этой же точки равно 3 + 2√2. Найти действительную и мнимую оси.

sova

18 марта 2020 г. в 19:42

Каноническое уравнение гиперболы:
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]



Асимптоты гиперболы:
y= ± [m]\frac{b}{a}[/m]

По условию они перпендикулярны, значит произведение угловых коэффициентов равно (–1):

(b/a)·(–b/a)=–1 ⇒ b²=a² ⇒ b=a

т. е уравнение гиперболы имеет вид:

x²–y²=a²

b²=c²–a²

a=b ⇒ c²=2a²

c=a·√2
ε =с/a=√2– эксцентриситет гиперболы.

r₂=F₁M=√(–6–c)²+y²
r₁=F₂M=√(–6+c)²+y²

r₂:r₁=3+2√2