Задача 45589 Четыре числа образуют возрастающую...

vk579418555

30 марта 2020 г. в 10:10

Четыре числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если к ним прибавить соответственно 5,6,9 и 15, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти исходные числа.

sova

30 марта 2020 г. в 11:17

★

a; a+d;a+2d;a+3d – Четыре числа образуют арифметическую прогрессию
Возрастающую арифметическую прогрессию значит d >0

a+5; a+d+6; a+2d+9;a+3d+15 – составят геометрическую прогрессию

Основное свойство геометрической прогрессии:

b_n=√b_n–1·b_n+1 ⇒ b²_n=(b_n–1·b_n+1

Составляем систему уравнений:

{(a+d+6)²=(a+5)·(a+2d+9) ⇒ d²+2d–2a–9=0 ⇒ d²–9=2a–2d
{(a+2d+9)²=(a+d+6)·(a+3d+15) ⇒ d²+3d–3a–9=0 ⇒ d²–9=3a–3d

Приравниваем правые части: 2a–2d=3a–3d ⇒ a=d
d²–9=0
d= ± 3
d=–3 не удовл. требованию возрастающей прогрессии

a=d=3


получаем ответ 3;6;9;12