Задача 34007 3. На рисунке 140, в изображён...

vk252862320

27 февраля 2019 г. в 19:29

3. На рисунке 140, в изображён прямоугольный параллелепипед ABD1C1B1D1 C (), основанием которого является квадрат ABCD. Вычислите градусную меру угла между прямыми DC1 и B1С1 если AB = 2 см.

4. Точка Р, К, М и О — соответственно середины рёбер AC1, СВ1, АС и АВ прямоугольной призмы АВСА1 В1 C1 D1. Докажите, что плоскости ЛМС0 и АРК параллельны.

5. Точка Т — середина ребра СС1 куба АВСВА1В1С1D1. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точку Т и параллельна плоскости ВС D1 Вычислите площадь поверхности куба, если площадь полученного сечения равна 45 см2.

sova

27 февраля 2019 г. в 20:01

★

3.
Проводим АВ₁||DC₁
∠ AB₁C – угол между AB₁ и В₁С
а значит и между DC₁и В₁С

Находим его из равнобедренного треугольника AB₁C
AB₁=B₁C=√4²+2²=√20=2√5
AC=√2²+2²=√8=2√2
По теореме косинусов:
cos ∠ AB₁C= (АВ²₁+BC²₁–AC²)/(2·AB₁·BC₁)=

=(20+20–8)/(2·√20·√20)=32/40=4/5

4.
PK– cредняя линия Δ A₁B₁C₁.
PK|| A₁B₁
MO– cредняя линия Δ ABC
MO|| AB
A₁B₁||AB
⇒ PK||MO

APC₁M– параллелограмм
PC₁||AM
PC₁=AM

AP||MC₁ как вторые пары сторон параллелограмма.

Две пересекающиеся прямые одной плоскости
AP и РК параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости МС₁ и MO.
По признаку параллельности двух плоскостей, такие плоскости параллельны

5. Пусть ребро куба равно а.

Проводим ТМ || C₁D
TM – средняя линия Δ СС₁D
TM=(1/2)C₁D=(1/2)a√2 (С₁D – диагональ квадрата со стороной а)
MK|| BD
МК – средняя линия Δ BDC
МК=1/2)BD=(1/2)a√2 (BD – диагональ квадрата со стороной а)

Построили две пересекающиеся прямые одной плоскости TM и МК , которые параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости
C₁D и BD.
По признаку параллельности двух плоскостей, такие плоскости параллельны

Cечение равносторонний треугольник cо стороной a√2/2

S(cечения)=(1/2)·(a√2/2)²·√3/2 ( площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними)

4√3=(1/2)·(a²/2)·(√3/2)
4= a²/16
a62=64
a=8

S_{поверхности куба}=6·a²=6·8=48