Задача 21929 Найдите наибольшее значение выражения...
Условие
Решение
{(15/16)-sinx=(1/16)tg^2z-2*(1/4)tgz*(2cosz)+4cos^2z;
{(15/16)-siny=(1/16)tg^2x-2*(1/4)tgx*(2cosx)+4cos^2x;
{(15/16)-sinz=(1/16)tg^2y-2*(1/4)tgy*(2cosy)+4cos^2y;
Cкладываем
(45/16)-sinx-siny-sinz=
=(1/16)(tg^2x+tg^2y+tg^2z)-sinx-siny-sinz+
+4*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
Применяем формулу tg^2 альфа =(1/cos^2альфа) –1.
Получаем:
45/16=(1/16)*((1/cos^2x)-1+(1/cos^2y)-1+(1/cos^2z))-1)+
+4*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
48/16=(1/16)*((1/cos^2x)+(1/cos^2y)+(1/cos^2z))+
+4*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
Проведем оценку правой части, применим неравенство Коши:
a+b больше или равно 2√ab,
равенство достигается при a=b.
(1/16)*((1/cos^2x)+(1/cos^2y)+(1/cos^2z))+
+4*(cos^2x+cos^2y+cos^2z) больше или равно
2*((1/(4cosx))*(2*cosx)+(1/(4*cosy))*(2*cosy)+(1/(4cosz))*(2*cosz))=3
3 больше или равно 3
Таким образом, в уравнении возможно лишь равенство,
1/(16 cos^2x)=4cos^2x) ⇒
cos^4x=1/64
cos^2x=1/8
sin^2x=1-cos^2x=1-(1/8)=7/8
t=x+y
sin(x+y+z)= sin(t + z) =
= sin(t)cos(z) + cos(t)sin(z) =
= sin(x + y)cos(z) + cos(x + y)sin(z) =
= (sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y))cos(z) + (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y))sin(z) =
= sin(x)cos(y)cos(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + cos(x)cos(y)sin(z) - sin(x)sin(y)sin(z)
sinx *(1/8)+siny*(1/8)+sinz*(1/8)-sinx*(7/8)
Наибольшее значение при
sinx=-sqrt(7/8)
siny=sqrt(7/8)
sinz=sqrt(7/8)
[b]Наибольшее значение [/b] равно
(sqrt(7/8)*((1/8)+(1/8)+(1/8))=3sqrt(7)/64